※ 引述《rehearttw (易怀)》之铭言： : ※ 引述《blausea ( )》之铭言： : : 推文太累，....... : : 这样说好了，先将问题简化， : : 如果考虑用 3 个白色的贴纸， 和 3 个黑色的贴纸， : : 去贴一个 1*1*1 的立方块， : : 按照上面的逻辑， : : 方法数应该是， 6!/(6*4*3!*3!) : : 但，这个数不是整数啊， : : 所以，那样的算法是有问题的。 : : 他的方法数其实只有两种。 : : 会发生问题，是在於因为有相同的色块， : : 会造成某些时候，图形有对称，要分开讨论。 : : 可是，对原来的问题而言， : : 要讨论，他的情形有太多种了， : : 讨论绝对不是一个好的方法。 : : 所以，.....我就不会了。 : 当有数学专家来解答时，答案就会豁然开朗 : 感谢 blausea 数学老师的指点 : 还有板上各位高手的引导 : 这样大家就越来越厉害！ : 本来我是不想碰这一题，因为我知道我算不出来 : 其实我是可以算出来的，但是 CASE 相当多 : 要分类处理很花时间 : 但是高手都出来讨论了，我也来提供我的想法 : 首先，我要问一个环状排列的问题 : 6 个人排成一列，为什麽是 6!/6 = 5! ？ : 理由高中课本上都有写，只考虑左右，不考虑位置 : 所以 ABCDEF 跟 BCDEFA、CDEFAB、DEFABC、EFABCD、FABCDE 这六种在环状中视为相同 : 「每六种视为同一种」，所以 6!/6 : 这里有个关键：「每六种视为同一种」 : 如果题目改成 A A B C D E 环状排列呢？ : 那就没这麽简单了 : 有人想，是不是 6!/6/2 呢？（想想看....） : 关於立体的环状排列 : 最典型的题目是：用六个不同颜色去涂一个方块 : 每面用一种颜色，而且颜色均不同，共可能涂出几种方块？ : 这题的答案是：6! / 6 / 4 : 除以 6 大家都知道，除以 4 可能有人就有疑惑了 : 其实环状排列除了「旋转法」之外，还有「定位法」 : 就是固定某一面（或某一人）不动，考虑其他的排列法 : 所以除以 6，其实是固定某一面（例如白色）在上面 U : 这时候剩下的五面的环状，就会变成 5! / 4 : 注意是除以 4，不是除以 5（不是随便套公式） : 是因为前面 F 面有 4 种旋转可能性 : 顶面 U 固定了，底面 D 是不会跑到 F 的 : 同样的，如果题目改成 : 用 5 种颜色涂方块，其中白色用两次，其他颜色各用一次 : 可以涂出几种方块？ : 各位可以发现原来题目的困难度，在於除以几... : 为什麽要除以 6，除以 4？ : 是因为 6 或 4 种环状视为相同 : 但是，加入有同样颜色的可能性之後 : 就不是单纯的除以 6 而已 : 如同 blausea 老师所说 : 3 黑 3 白涂一个方块，是 6!/(6*4*3!*3!) 吗？ : 这样，就太过简化这个问题了，答案也是有问题的 : 问题在於没有考虑相同颜色 : 也就是 blausea 老师说的「图形有对称，要分开讨论」 : 所以我先以我的想法，来解 3 黑 3 白的问题 : 顶面放黑色（你要放白的也可以） : 接着底面可以有黑、白两种选择 : (1) 若选黑，剩下 1 黑 3 白涂 F R B L 面，只有一种可能 : (2) 若选白，剩下 2 黑 2 白涂 F R B L 面，有 2 种可能（黑相连、黑白间隔） : 所以答案就是 3 种罗？ : 很抱歉！答案是错的！ : 实际上只有两种：三黑一直线、三黑均相连 两种 : 但为什麽上面 (1) (2) 加起来会有3种呢？（这就是公式考虑不到的地方） : 因为 (1) 的答案，必为「三黑一直线」型 : 而这种会在 (2) 里面出现 : 所以不能仅由公式或传统算法来分类而已 : 意思就是说，不要想只有一个式子就把答案算出来 1*1*1涂3白3黑 use Burnside's formula G=S_4 (1/4!)(6!/(3!3!)+3*4+8*2)=2 : 最後提出一题手环题，就可以知道原始题目的困难度 : 拿七个一样形状大小的珠子：黑 黑 白 白 红 绿 黄 : 串在一条绳子上当手环，总共可以串出几种手环？ : （这两天监考，有东西可以想了） use Burnside's formula G=D_7 (1/14)(7!/(2!2!)+7*3*3*2*2)=108 --------------------------------------------------- http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.50.253