※ [本文转录自 tutor 看板] 最近刚好有机会碰98课纲的数学科部份，因此经过阅读後，感到修改的相当好，也触 发了部份以前没有想过的想法，所以提出来给大家参考。有家教的人若有这样的思维，我 认为是教学上有相当大的帮助，所以希望有在家教的人一定要看！ 写此篇文章有两个主要的目的； (一)希望有在教高中数学家教的人，能了解多项式这一个章节其题目的重要，与为什麽要 学生学习这些概念，进一步帮助学生学习。 (二)希望看完本文的人，也能将以前学习与後来学习微积分的部份连结起来，了解之前学 那些的目的，进而重拾对微积分的兴趣。 一、操作除法的目的 先谈谈以前没有想过的事情。在高中时，我们学多项式第一个是先学习多项式的运算 ，也就是加减乘除。在运算上大都可被接受，而且加、减、乘通常是可以被意会的，这时 是不是有疑问？除法会很难吗？不是除一除就可以得到商式和余式吗？是的，在整数的除 法上，商式和余式是容易被解释的。 例如：15颗苹果分给4个人，每个人可以得到3颗，最後总共剩3颗。 (被除数) (除数) (商数) (余数) 但这样的解释方式无法在多项式除法奏效，要怎麽说明x^2+3x+1除以x+1後，商是x+2 ，余式-1，这些所谓「数式」的意义？是的，其实这些都有意义。98课纲明确指出，多项 式除法具有化繁为简的目的，也就是说我们希望透过操作除法达到化简问题的功用。举例 来说，以前一定有做过以下类似题目： <例一> f(x)=x^3-6x^2-8x+5，求f(7)=? (sol) 老师说；「直接代入太麻烦了，所以我们可以使用综合除法求余式。」 故透过综合除法求得f(x)=(x-7)(x^2+x-1)-2，所以f(7)=-2。 是的这样操作的确达到了上面化繁为简的精神，但并没有赋予做此问题理由，也就是 说，学生只能感受到求f(a)的值只要将f(x)除以(x-a)後得到的余式就是f(a)。但事实上 ，操作除法的目的就是要解决求值问题，当问题越来越庞大，多项式越来越多项，那麽我 们还只能代入值，然後乖乖地计算f(a)值吗？故操作除法精神在此，可以使用余式定理求 f(a)值。 二、体验使用泰勒多项式求值 这个部份再以一个例子开头。 <例二> 若f(x)=x^3-x^2-6x+9，求f(0.999)的近似值？ (sol) 你会这麽做，将f(x)以除式(x-1)操作一次综合除法，得到f(x)=(x-1)q1(x)+3，再 将q1(x)做一次综合除法得到q1(x)=(x-1)q2(x)-5，依此类推。 最後得到f(x)=(x-1)^3+2(x-1)^2-5(x-1)+3，这时再将0.999代入求得近似值。 这是一个高中课本各版本一定会出现的例题，透过除法作泰勒展开，但当我们在学习 微积分泰勒级数的时候，有多少人能与之前的高中课程这个段落做连结呢？因此，我认为 教学者应当在此段落能意会为何要学习此题型，才能真正与大学课程连结。 以下提出几个具体建议，操作此题型时，教学者应当有以下这些概念； (1)这是为了大学的泰勒展开作基础准备。我很讶异我当初学Taylor Expansion没有意识 到这件事，也没有与高中学的这部份做连结，实在很可惜。 (2)上述的泰勒式系数与微分有关。我想只要熟习Taylor的人都知道，前面就是多次微分 後除以n!，再代入点值後得到的数字。因此藉由除法的多次操作，除了可以得到那点 的近似值，也能藉由得到的系数反计算微分值。 (3)因多项式有限，故只能操作有限的除法，得到有限泰勒式。像是exp(x)或是sinx、 cosx等可微分无穷次的函数，其泰勒展开则为无穷级数和。 三、低阶泰勒展开与余式 以前中学时期，我想也一定会遇到下列此问题； <例三>若f(x)除以(x-1)的余式为2，除以(x-2)的余式为5，则f(x)除以(x-1)(x-2) 的余式为何? (sol) 这种题目会这样做；因为除式是二次，故假设余式为ax+b，因为f(1)=2，f(2)=5， 所以代入解联立a+b=2、2a+b=5，则a=3、b=-1，故余式为3x-1。 这样的题目不算难，但却很少有人知道为何要求余式？98课纲在这里说明了求余式的 意义，因为余式是一次多项式，且通过(1,2)、(2,5)两点，因此y=3x-1是y=f(x)图形上通 过此两点的割线方程式。那为什麽要求割线？答案是为了切线作准备。 以上面例子来说，应不难联想到，若我们想求y=f(x)图形在(1,2)这点的切线，只 要将f(x)除以(x-1)^2所得的余式，即为过(1,2)此点的切线方程式。 多麽美妙的事情！但以前学习时，却从来没有被赋予这样的思考逻辑。这实在很可惜 ！但之後98课纲实施後，除法已经有了这样的连结，学习多项式已经不再枯燥，不会有不 知为何而做的想法了。 事实上，上述概念也能以<例二>作解释； f(x) = x^3-x^2-6x+9 = (x-1)^3+2(x-1)^2-5(x-1)+3 上式右边则为f(x)在x=1的泰勒展开式。 (1)当我们取3时，则为f(x)在x=1之值。 (2)当我们取-5(x-1)+3，则为f(x)在x=1的一次泰勒近似，即为在x=1之切线，也是f(x)除 以(x-1)^2的余式。 (3)当我们取2(x-1)^2-5(x-1)+3，则为f(x)在x=1的二次泰勒近似，即为在x=1以抛物线 近似f(x)，也是f(x)除以(x-1)^3的余式。 总结 98课纲虽然没有明确提到切线或微积分泰勒展开的部份，但在这部份做了相当好的连 结，且从国中学习的一次、二次函数内容，延伸到综合除法、求余式、割线等概念，能加 强学生学习的兴趣与深度，我认为是相当好的教材，且弱化一些不必要的困难代数操作， 不仅减轻学生负担，学习起来也更能连结到大学的微积分部分，知识也更连贯了。 本文是基於读完此章节的课纲设计後，觉得相当有趣，提出来分享给大家。希望有志 做教学的大家，能藉此更了解教材的内容，提昇教学品质。 有些人可能会质疑现行为95课纲，为何写这篇文章？我认为这不是课纲是否实施的问 题，而是教学者该有的想法、概念，才能知其为何而行、知道为何要学习这样的素材、题 型，对於教学更具有说服力及提昇学生之学习兴趣。 --

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