作者usingPTT ( PTT使用中 )
看板Psychiatry
标题Re: [日记] 0/0不是1好吗
时间Wed Jul 7 01:03:55 2021
※ 引述《pmove (侍可杀，不可鲁)》之铭言：
: 好几年前，看到一个数学题目：
: x-x = x/x, 求解x?
: 结果看到一位台清交等级及红楼毕业的网友回答：
: ’0 = 1的障眼法‘
: 我看到後，因为自己不是好学校毕业的，实在不好意思直接说他错，但是他这样说，等於是在说
: x/x = 1,
: 可是当x = 0, 0/0从来没有被证实为1， 如果有人认为0/0就是1, 那麽教你的数学老师该打屁股，只要小学毕业就知道，分母为0是未定义，所以分母为零的情况是一定要分开讨论的，没有讨论分母为零的情况，算是标准错解答吧。也许有人还是不明白，那0/0是啥麽？
: 0/0在微积分里是不定型，在这边因为0是分母，分母为0是未定义，所以0/0也是未定义。我想这就是题目的陷井，也就是说题目就是在考这个，那位红楼的网友，可惜啊...虽然只是国中数学，但是他并没有真的答出来，红楼让我失望了 XD
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: Sent from JPTT on my iPhone
好久没解数学了，你这题激起了我许久的兴趣。
我认为答案如下，得分三部分讨论：
1) 当 x>0 时, 0!=1, 无解。
2) 当 x<0 时, 0!=1, 无解。
3) 当 x=0 时, 需拆成 左极限 跟 右极限：
a) 当 x=0+ 时, lim (x/x) = (0+) - (0+) = 0 (右极限)
x->0+
b) 当 x=0- 时, lim (x/x) = (0-) - (0-) = 0 (左极限)
x->0-
因为 左极限 = 右极限，
所以当 x=0 时，x 有值，x=0。
结案。
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有意思，Steven 的答案是
1) 当 x!=0 时，无解。
2) 当 x =0 时，未定义。
这里很有意思的地方是 x=0，他的解释非常有趣。
假设有一组方程式，x=3 是解，两边同时乘上 x，
方程式变成 x^2-3x = 0，方程是解就变成 x=0,3，那就不是原本的解了。
依照这想法，如果 x=0 是解，
那 ∞．x=∞．0，可以变成 ∞．(x-0)=0，
这样的话，x=0 也不是解了。
或
(x/∞)=(0/∞)，转变成 (x/∞)=0，
这样 x 又可以等於任意数。
结论，x=0 也不是解。
2F：→ pmove : 我数学也不是很好，其实我不该扯到微积分里0/0是不 07/07 11:26
3F：→ pmove : 定型，lim x/x,当x趋近於0+时是1，当趋近於0-时也是 07/07 11:26
4F：→ pmove : 1，所以网路上有人说lim x/x当趋进零时，也是1. 不 07/07 11:26
5F：→ pmove : 过方程式解，跟lim的观念没有完全一样，当遇到0/0时 07/07 11:26
6F：→ pmove : ，因为分母为零时，是未定义。如有错误，还请指教。 07/07 11:26
这部分我也忘了，可能需要观念更清楚的人解释。
不过应该是对的，解是解、极限是极限。
7F：→ pmove : lim x/x, 当x趋近於0时，维百有提到： 07/07 15:16
8F：→ pmove : 参 07/07 15:16
感谢，我想起来了。
lim (x/x) = 1
x->0
这种不定型可以由 微积分基本定理 对上下分别微分，再代入 x=0 值，所以得到上式。
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分割线，
这里我透过 极限，提供另一种解释。
x-x = x/x，对左右在 x=0，同时取 极限，
lim (x-x) = lim (x/x)
x->0 x->0
lim x - lim x = lim (x/x), 左式代入 极限值，右式使用 微积分基本定理，
x->0 x->0 x->0
0-0 = 1
0=1，又无解。
所以结论，在 x=0 时，也不是解。
10F：推 pmove : 您说的上下微分，再带入x值求极限，我也学过，叫罗 07/07 18:30
11F：→ pmove : 必达法则的样子。另外，等号两边同取lim，是不是可 07/07 18:30
12F：→ pmove : 以这样做，我有点怀疑不行。 07/07 18:30
我记得只要是 连续函数 就可以对 函数 取极限。
若 f(x)=x-x, g(x)=x/x, 而 f(x),g(x) 都是连续函数，
所以我认为对两边取极限是可行的。
13F：推 pmove : g(x)=x/x, 你确定g(x)是连续函数？ 07/07 21:21
YA, g(x) 是连续函数。
请看 你的链接，里面有 g(x)=x/x 的图。
15F：推 pmove : y=g(x)在x=0连续，需要lim (x->0+)g(x) = lim(x->0- 07/07 21:41
16F：→ pmove : )g(x) = g(0) 三式相等，缺一不可。前两个是右极限 07/07 21:41
17F：→ pmove : 跟左极限，在这边都是1没问题，问题在於g(0)=0/0, 07/07 21:41
18F：→ pmove : 在此分母为0是未定义，不是1. 所以我认为g(x)在x=0 07/07 21:41
19F：→ pmove : 时不连续 07/07 21:41
明白，这样的话，就要特别讨论，这算不算 奇点问题？
20F：推 pmove : 参： 07/07 21:45
22F：推 pmove : 哈，原本这只是国中数学的东西，你非要拿高三理科数 07/07 21:56
23F：→ pmove : 学的方法来做，是想测看看我是文组还理组吗？ 07/07 21:56
24F：→ usingPTT : 呵，很久没玩数学了。这让我觉得兴奋。 07/07 22:07
Bro，我有一个解释，你琢磨一下。
根据 罗必达法则，
https://tinyurl.com/uyv8yf9a
当 lim f(x)= lim g(x)=0
x->a x->a
则 lim [f(x)/g(x)] = L = lim [f'(x)/g'(x)]
x->a x->a
若 f(x)=g(x)=x, 则 z(x)=f(x)/g(x)=x/x
使用罗必达法则，lim z(x) 存在，因为 lim f(x) = lim g(x) = 0
x->0 x->0 x->0
所以 z(x)=x/x 可以取 极限。
25F：→ pmove : 我看不太懂您最後写的，对於不懂的东西，我也不晓得 07/09 20:20
26F：→ pmove : 是对还是错... 07/09 20:20
哈。兄弟，无妨，只是闲聊而已。
不过应该是对的，我有九成九的把握
※ 编辑: usingPTT (1.161.48.205 台湾), 07/12/2021 11:26:35
27F：→ pmove : 上面说过我数学不强，又加上我有夜藏病（不喜欢指出 07/13 17:36
28F：→ pmove : 别人的错误），所以您爽就好。 07/13 17:36