※ 引述《cch123 (cch123)》之铭言： : 看了几本书和网路资料，说法都不同， : 请问有标准答案吗？谢谢 : https://i.imgur.com/DJWYiNl.jpg : https://i.imgur.com/F9SzirG.jpg : https://i.imgur.com/NhOQrUG.jpg 以下我先讲 IEEE754 规定 现在的 C/C++ 用的 float/double 大多都跟这个规定走但也不是绝对 ==== 首先, 所谓的浮点数 骨子里其实就是二进位、有限有效位数、指数也有限定范围的科学记号 单精确度有 23+1 位有效位数, 指数限定为 2 的 -126 到 +127 次方 倍精确度有 52+1 位有效位数, 指数限定为 2 的 -1022 到 +1023 次方 加上浮点数有正负, 所以两端的极限值会是绝对值最大的值 单精确度就是 1.111111...111 * 2^127 转换成十进位的话, 小数点後面有 23 个 1 所以乘号前面的值是 1 + 2^(-1) + 2^(-2) + ... + 2^(-23) = 2 - 2^(-23) 乘上指数之後就是 2^128 - 2^104 = 340282346638528859811704183484516925440 这就是 3.402823*10^38 的由来; 这个值在 C/C++ 里可用 FLT_MAX 叫出来 倍精确度类似, 两端的极限值是 (2 - 2^(-52)) * 2^1023 = 2^1024 - 2^971 = 179769313486231570....184124858368 这就是 1.79769313486232*10^308 这个数, C/C++ 里叫 DBL_MAX 同样地, 绝对值最小的非 0 数可以类似地算出来 单精确度是 1.0000...000 * 2^-126 = 1.17549435082228750796873653722224567781866555 67720875215087517062784172594547271728515625 * 10^(-38) (FLT_MIN) 倍精确度是 1.0000...000 * 2^-1022 ≒ 2.22507385850720138309023271733240406421921598... * 10^(-308) (DBL_MIN) 这两个数字有列在第二张图里, 这就是它们的来源 ==== 不过这种表示法造成了一个问题: 当接近这个最小绝对值的数进行运算时 其产生的结果可能因为指数太小放不下直接变成 0 也就是在上面那个最小绝对值以下就直接切成 0 了 (这个叫做 underflow, 下溢) 为了补足这部份的运算精确, 所以定义了 subnormal number 在科学记号的表示法当中, 为了迁就指数的范围而不使前面数字正规化 以单精确度为例, 强制使指数停在 2^(-126) 次方而不让前面正规化为 1.xxxx 所以就能出现 0.0000000....0001 * 2^(-126) 这个最小值 转成十进位就是 2^(-23) * 2^(-126) = 2^(-149) ≒ 1.4012984643248170709237295832899... * 10^-45 (FLT_TRUE_MIN [C11/C++11]) 同理倍精确度就是 0.00000....0001 * 2^(-1022) = 2^(-52) * 2^(-1022) = 2^(-1074) ≒ 4.9406564584124654417656879286822... * 10^-324 (DBL_TRUE_MIN [C11/C++11]) 这就是第三张图里的范围来源 ==== 前两张图里还有列出一个更「大」的 long double 但这个型别实际上是什麽也要看编译器怎麽定, 标准只说它是 "extened precision" 第一张图里它跟 double 根本就一样大 第二张图里它是一个占 80-bit 的型态, 这个并不在 IEEE754 的规范里 所以它们的范围也就是各自说了算 实际上在你用的编译器里的范围是多少可以叫用类似的常数出来 分别是 LDBL_MAX, LDBL_MIN, LDBL_TRUE_MIN 对应上面的三种极限值 那个 80-bit 的型态使用的是 63+1 位有效位数, 指数是 2 的 -16382 到 +16383 次方 你可以用类似的方法去推算极限值是不是符合上面第二张图的数值 ==== 这篇因为纯讲范围, 所以没有提到实际上这个范围是怎麽定的 这跟浮点数的位元实际是怎麽组织的有关 但这些都和原 PO 的问题范围离的稍微远一点所以全部略过 -- ◢ ˊ_▂▃▄▂_ˋ. ◣　　　　　 　　　　▅▅　▅▅　ι●╮　　 █▄▄▄▄▄ ▍./◤_▂▃▄▂_◥ \'▊ 　　ＨＡＲＵＨＩ █████　＜■┘ 　 ▄▄▄▄▄▄▄ ▎⊿ ◤◤◥█◥◥█Δ 　　ＩＳＭ　 　　By-gamejye　￠|\ 　　▌▌▌▌▌▄▌▌ ▏ζ(▏●‵◥′●▊)Ψ ▏　　 　　　 　　　　█　　　 ⊿Δ 　　▄▄▄ ▄▄▄▄ █/|▊ 〃 、 〃▋ |\ ▎　　　　　 　 　ハルヒ主义　　　 　　█▄▄▄█▄▄ ◥◥|◣ ‵′ ◢/'◢◢S.O.S 世界を大いに盛り上げるための凉宫ハルヒの団　　　 --

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