作者yhliu (老怪物)
看板Prob_Solve
标题Re: 想问各位先进一个统计问题
时间Sun Oct 23 09:40:55 2022
※ 引述《Jerrychiang (Y.J.Chiang)》之铭言：
: 手机排版抱歉
: 同事问了一个问题我实在不知道怎麽解，放上来请各位先进指导，
: 乐透彩从1-49中任取6个号码（取後不放回），小明选了2.3.5.7.11.13六个号，变数x
: 是小明选中的号码数量，变数T是乐透抽出的六个号码加总（ex 乐透抽出5.10.15.20.
: 25.30，X=1，T=105)
: Q1: T的期望值E[T]，小明六个号码都中的期望值E[T|X=6]，以及全部没中的期望值
: E[T|X=0]
: Q2: X和T是否独立
: Q3: X^2的期望值E[X^2]与X变异数Var[X]
: 麻烦各位提供我一些想法，谢谢大家的帮忙
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: Sent from JPTT on my Vivo V1930.
有专门的统计版，再不然还有数学版，这问题放在那里更适当。
假设选的号码（此例的 2,3,5,7,11,13）是固定的。
T = Z1+...+Z6, Zi 是从 1~49 随机选出的，E[Zi] = (1+49)/2 = 25
所以 E[T] = E[Z1]+...+E[Z6] = 25*6 = 150
Zi 之间有相关，但这不影响期望值，只影响 T 的变异数计算。
X = 6 即 {Z1,...,Z6}={2,3,5,7,11,13}, 所以 E[T|X=6] = 2+...+13 = 41
X = 0 即 Z1,...,Z6 只能从已定的６个号码之外选，
所以 E[Zi|X=0] = (1+4+6+...+49)/431 = [49(49+1)/2-41]/43 = 1184/43 = 27.53
所以 E[T|X=0] = 27.53*6 = 165.2
Ｘ 是其他值时，如 X=2，表示在 2,3,5,7,11 中取两个号，在其他 43
个号中取 4 个号。
前者各种情形平均（对各种可能组合之平均）号码和是 2(41/6)，
後者号码和平均是 4(1184/43)，故 E[T|X=2] = 82/6 + 4736/43 = 123.9
通式 E[T|X=x] = x(41/6)+(6-x)(1184/43)
E[T|X=x] 随 x 而变，所以 T 与 X 不独立。
X 的分布可以算出，然後依定义式可计算 E[X], E[X^2] 及 Var[X].
事实上 X 服从超几何分布，P[X=x] = C(6,x)C(43,6-x)/C(49,6)
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1F：推 Jerrychiang: 谢谢您，学到很多！ 10/24 21:28
2F：→ rnoro: T=Z1+...+Z6，这里的Zi似乎是取後放回跟题目不太一样？ 11/19 08:41
3F：→ rnoro: 只有E[Z1]=25，E[Z2]实际上是25*48/49 11/19 08:46
4F：→ rnoro: 独立部分的论证也不太完整，随机变量的独立与否要计算 11/19 09:48
5F：→ rnoro: joint-distribution，不完全是靠谁跟着谁变来决定 11/19 09:48
※ 编辑: yhliu (114.41.125.24 台湾), 12/14/2022 11:27:33
6F：→ rnoro: 你还是没算对啊。。。 12/21 02:35
7F：→ rnoro: 取後不放回，Z这样写就包含Z=1+1+1+1+1+1的情况，跟题意 12/21 02:37
8F：→ rnoro: 不合吧？ 12/21 02:37