※ 引述《s97610017 (粥有兪)》之铭言： : If nxn matrix A has n linearly independent eigenvectors, : then the linear system Ax=b has a least-squares solution : (R)^-1(Q)^T b : (A)True (B) False : 这题是中央资工98年数学考题 : 但是我找到两种版本解答 : 一直是直接说行独立 : 不过另一种说n个线性独立的eigenvectors并不保证有行独立 : 我实在是不太懂 : 也不知道哪个说法是正确的 : 请问有哪位大大可以帮我解答一下吗谢谢 总觉得这文比较适合 Math 版... anyway, 令 M 为 A 的 n 个 eigenvector 作为 column vector 排成的矩阵 则有 AM = MD 其中 D 是对角矩阵 元素为对应之 eigenvalue 若这 n 个 eigenvector 线性独立 则 M 可逆 但因为 D 可以是不可逆 (这只要有个对角线元素是 0 即可, ie. A 有 eigenvalue 0) A = MDM^-1 就不一定可逆了 (这等价於 A 无行独立, 因为 A 是方阵) (其实 A 有 eigenvalue 0 正表示 A 无行独立 由於 A 乘上对应的 eigenvector 为零向量 这个 eigenvector 正写出了一个组合法) 用 Mathematica 凑了一个例子出来: [1 2 3] [8] [1] [-2] [0 0 1] eigenvalue/eigenvector 为: 2 → [1], 1 → [0], 0 → [ 1] [0 0 2] [2] [0] [ 0] 显然这三个 eigenvector 互相线性独立 但左边那矩阵并无行独立 由 0 的 eigenvector 也知道第一行乘 -2 加第二行乘 1 = 零向量 即第一行乘 2 = 第二行乘 1 这也印证了这矩阵没有行独立 -- 実琴：「河野！你真的就这样被物质慾望给吸引过去了吗?!」 亨：「只要穿着女装摆出亲切的样子，所有必要花费就能全免，似乎一点都不坏啊。」 実琴：「难道你没有男人的尊严了吗?!」 亨：(断然道)「没有。在节衣缩食且生活吃紧的学生面前，没有那种东西。」 －－プリンセス・プリンセス 第二话 --

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