※ 引述《tropical72 (蓝影)》之铭言： : 以下问题是转自 math 版,最近在研究数值分析的问题, : 希望以程式语言去解决, : 後来想想转来这似乎可以得到更多想法, : 希望各位能不吝指教。 : ※ [本文转录自 Math 看板 #1CyjhZnF ] : 作者: tropical72 (蓝影) 看板: Math : 标题: [中学] 试根问题与勘根定理 : 时间: Mon Nov 29 06:42:39 2010 : 太久没碰数学,最近碰一些数值分析的东西, : 过程中有些想法是关於勘根定理与试根问题 : 还烦请各位协助解惑.. : 假设 f(x) = 20x^5 + ....+ 28 = 0 : f(x) 无法再进行化简 : (A) 试根问题 : 要用因式分解求根的话,若先进行试根之动作: : 20 因数：1,2,4, 5,10,20 = Ai, i=1~6 : 28 因数：1,2,4, 7,14,28 = Bj, j=1~6 : Q1 要试根是否要试 (+/-) Ai/Bj 及 (+/-) Bj/Ai (for all i, j) ? ± Bj/Ai 即可 这其实是一次因式判定定理: 若 (px+q)|(a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0) (皆整系数) 则 p|a_n q|a_0 所以才会有求因数试根的方法 : Q2 如果虚根也要求的话,此公式是否可套用?要试的根就变成 : (+/-) Ai/Bj, (+/-) Bj/Ai, (+/-)i*Ai/Bj, (+/-)i*Bj/Ai (for all i, j) 虚根的情形就很复杂了 你这里其实还跳过了无理根 像 x^2 - 2x - 2 = 0 的根是 1±√3 像 x^2 - 2x + 4 = 0 的根是 1±i√3 这事情会复杂非常多 不是这种试法可以解决的... : Q3 如果 Q1 为是,试的根全都失败,代表此方程式 "无实数解" ? : 如果 Q2 为是,试的根全都失败(有这可能吗?),代表 "此方程式无解" ? Q1 全部失败的结论是「无有理数解」 Q2...就再说了 : 另在使用时是否有有其需注意之事项? : (B) 勘根定理 : f(x) 假设承上, 勘根定理在使用时必须先确定 low bound 与 up bound, : 再判别之间是否有根存在(或可能无根存在)。 : 然而举 matlab 软体, 在求非线性方程式之解时, 是否也是先用勘根定理, : 再去求其值。若是的话, 它该如何确定每次的 low bound 与 up bound?? : ex: 假设一方程式 g(x) 为非多项式之非线性方程式 : 已知有3解: -1000.1, 0.3, 2000.23 : 这样的话, 我该如何先去判断 low bound 与 up bound? : 还是只能类似这麽做： low bound = -MAX, up_bound = -MAX+1, : 每次都递增1，直到 low_bound = MAX, up_bound = MAX+1 才能试出所有根所在区间？ : 问题有点多,希望对於任何问题有想法或建议的版友能不吝回覆与指教, : 感谢各位。 用勘根的话 通常会先确定在哪个范围之外函数不会有根了 然後在其中再去切看看有没有根 但勘根定理危险的地方在於如果区间中有偶数个根的话会得不到讯息 不管你切怎样的区间都一样 也就是这种勘根法(如果能的话)只能确定其中数个根 不能确定所有根... 如果要求数值解的话确定区间後用牛顿法是个不错的主意 -- ◢ ˊ_▂▃▄▂_ˋ. ◣　　　　　 　　　　▅▅　▅▅　ι●╮　　 █▄▄▄▄▄ ▍./◤_▂▃▄▂_◥ \'▊ 　　ＨＡＲＵＨＩ █████　＜■┘ 　 ▄▄▄▄▄▄▄ ▎⊿ ◤◤◥█◥◥█Δ 　　ＩＳＭ　 　　By-gamejye　￠|\ 　　▌▌▌▌▌▄▌▌ ▏ζ(▏●‵◥′●▊)Ψ ▏　　 　　　 　　　　█　　　 ⊿Δ 　　▄▄▄ ▄▄▄▄ █/|▊ 〃 、 〃▋ |\ ▎　　　　　 　 　ハルヒ主义　　　 　　█▄▄▄█▄▄ ◥◥|◣ ‵′ ◢/'◢◢S.O.S 世界を大いに盛り上げるための凉宫ハルヒの団　　　 --

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