※ 引述《tropical72 (蓝影)》之铭言： : 我知道有直式开根号方式可以加快开根号之速度 : ex: 2^(1/2), 2^(1/3)... etc : 如果次方数是非整数的东西，像是 : (1.5)^(1.3217) 类似， : 这在数学上是怎麽算出来的？ : 请各位先进不吝解惑 : 谢谢各位，感激不尽!! 其实意思一样... 基本概念都是想让它满足指数律 10 也就是说 2^1.3 = 2^1 * 2^0.3 = 2^1 * 2^(3/10) = 2^1 * √(2^3) 大概像这种感觉 从这里我们定义出了有理数次方 但是只有有理数次方是不够的 要让指数是任意实数的话还得定义无理数次方 数学家们发现了一个函数叫 exp (它长的很像复利的式子, 加了个 lim) 它满足一个和指数律很像的规律 exp(a+b) = exp(a) * exp(b) 进一步研究发现了它其实就是以尤拉常数 e = 2.7182818284... 为底的指数函数 而其反函数 ln 也意外的有着一个特别的性质 (它的微分很漂亮) 这使得若将 exp 和 ln 以这种方式定义的话 它会和指数的「乘几次」这个概念切离开来 但仍然满足指数律 因此我们便能够反过来使用这个定义 以在 b 为有理数时成立的式子 a^b = exp(b*ln(a)) 回头来定义 b 为无理数时 a^b 的值 而不会遇到要怎麽处理无理数的问题 这便是我们所熟知的指数/对数函数了 exp 和 ln 也因此被叫做自然指数/自然对数函数 以上所提到的式子的详细定义及证明去翻任何一本大学微积分的书都会有 想要细读的话可以去找来看 -- 简单说就是, 到一个地步之後的指数运算其实是由微积分定义出来的... 有些微积分的书会从 ln 那个微分很漂亮的式子开始定义对数 有些微积分的书则是从那个很像复利的式子开始定义指数 两个定义是可以证明为等价的 -- "LPH" is for "Let Program Heal us".... --

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