※ 本文是否可提供台大同学转作其他非营利用途？（须保留原作者 ID） （是／否／其他条件）：是 　　　　 限用转贴 PTT 连结之方式，也就是必须保留原出处。 哪一学年度修课：110-1 ψ 授课教师 (若为多人合授请写开课教师，以方便收录) 数学系 张志中老师 λ 开课系所与授课对象 (是否为必修或通识课 / 内容是否与某些背景相关) 数学系大二必修、经济系所选修 (听说有担任其他科目助教的经济系所菸酒生选修) δ 课程大概内容 Chapter 1. The Real and Complex Number Systems Chapter 2. Basic Topology Chapter 3. Numerical Sequences and Series Chapter 4. Continuity Chapter 5. Differentiation Chapter 6. The Riemann-Stieltjes Integral Chapter 7. Sequences and Series of Functions (这学期讲到 Theorem 7.17，原本以为只会讲到第六章而已，但进度偏快我喜欢 ♡♡♡) Ω 私心推荐指数(以五分计) ★ * n, as n goes to infinity. (我这学期大部分的时间都投注在这门课上了，包括大部分的休息时间，以及此时此刻， 不知道为何，刚好这个年纪就突然对分析很感兴趣很想弄懂。) 想以 Rudin 作为教材基底 ★★★★★ 个人认为 Rudin 的字很少，重点很容易就呈现出来，而且是经典用书，很适合自己读完後 在空白处加个心得随笔，对我这种有轻微文字阅读障碍的人来说 Rudin 还蛮棒 der。 如果开放旁听 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ (这个我之後会提，还蛮有趣的 XD 本人没有修课但还是有和某位修课同学一同努力) 如果想要花超级多时间写作业，或藉由作业内容抓课程重点，当然都是满天星 ★★★★★ 老师出的作业都是精华中的精华，每一题後面会提示希望同学弄懂什麽观念，如果 Rudin 和 Apostol 题目相同的话会一并列出题号，内容设计有些也有许多巧思，全部作完了解 透彻，功力一定 UP UP，由此可见老师的用心良苦。(但是真的蛮花时间的，有时候要斟酌 一下，像我没修课的话可能只写下 key idea 就好，不要求 formal writing，或者是跳过 一些较无代表性的题目等等。我打算下学期再也不要花这麽多时间在作业上了XD) 相反地，如同前一篇心得文 #1Xxe64L7 所提到，想要手把手教学，或者是主张轻松学习的 同学，可能就比较适合修习其他老师所开的课程。总之，我主观认为以一位正常大二同学 来说应该算是偏重。 (我不喜欢称之为评价文，因为老师备课很辛苦，身为一个学生，或者说，知识的既得利益 者，没有资格去「评价」教授准备的课程，我们自己都没办法每周四个小时站在台上侃侃 而谈了，又怎麽能用高标准检视他人是否达到自己的要求呢。) 甜度的部分，因为我没修课，这部分无法提供意见，或者是等有修课的同学提供想法。 η 上课用书(影印讲义或是指定教科书) 1. Textbook: W. Rudin: Principles of mathematical analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. 东华书局代理，电话：2311-4027 2. Reference: * T. M. Apostol: Mathematical analysis. * Understanding Analysis by S. Abbott. 2nd edition, Springer, 2015. 上课内容以 1 为主轴，遇到需要补充的部分 (例如 Rudin 证明不够好懂？) 或作业取材 就会用到 2。这三本书网路上都找得到友善数位版，而且不难找。 μ 上课方式(投影片、团体讨论、老师教学风格) * 正课部分： 前三周疫情期间看概要影片，解禁之後在 11/09 之前只上星期二的实体课，之後才全面 复课。实体课就是采典型数学系的板书授课风格，如同 #1NiSlEK_ 这篇 104 年的心得文 所说：老师的板书是自洽的，内容就大概依照 Rudin 的顺序，当 Rudin 的证明方法比较 难懂时会换比较好理解的证明手段。另外一位也修过志中老师 104 年分导的林同学也说， 当 Rudin 书上的定理证明比较迂回的时候，老师一讲我 (他) 就懂了。仔细观察会发现， 虽然老师比较资深，但写板书的手速其实蛮快的，比我在 GoodNotes 上写字还要快 XD 至於我自己上课是属於那种比较注意力不集中的人，所以通常是同时搭着课本一起看，那 回去复习的时候再参考我这学期 collaborator (以下简称王同学，a.k.a. 台大交流版上 曾经发文询问加签事宜的学分孤儿) 放在 GoodNotes 上的笔记，他的笔记真的很整齐 ♡ ♡♡ * 助教课部分： 这学期有三个班，这门课好像统称它为习题课吧，因为重点还是放在讲解作业题目上面。 前三周采 Google Meet 授课，解禁後采实体授课，然後这边就要稍微解释一下前面提到的 如果开放旁听就 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 是什麽意思。 首先呢，这门课其实是不开放旁听的，所以课程网站权限仅在前三周对外开放，解禁後就 仅限修课同学观看，我就趁这段期间跟着练习网站上面的作业题目，然後用自己的 Google account 默默地跟着其中一个班，这个时候助教应该发现有个旁听仔没修课结果也跟着练, 等到解禁之後我就硬着头皮寄信跟我所 follow 的助教询问说可不可以注册习题课的座位, 助教还很贴心地帮我问了老师可不可以听实体课，结果老师说不行，所以在期中考之前我 都只有参加习题课还有王同学提供的作业题目以及上课资讯，等到期中之後才正式地看到 老师本人还有参与正课。 (这一段主要是想提助教超级贴心 ♡♡♡这件事，如果是我回覆我自己的信可能不会考虑 到这麽多细节，这门课的助教让我知道，我要学习的地方还很多。) 就习题课本身而言，大体上应该就是同学讲解作业 → 助教帮忙 debug → 助教提示重点 或另解，这样子的循环，可能顺便作一下课外补充。这部分就随助教而异。我也不喜欢学 人家说，助教课可以试听去选择适合自己风格的班级，因为提供服务的学长姊很辛苦还要 被选择，好像哪里怪怪的。 回归正题，老实说因为我本身已经不在学龄 (18-22) 阶段，导致实体习题课时就会有一点 小小的别扭，毕竟没办法如同疫情期间用 Google Meet 上课时，在萤幕背後当一位刚透过 特殊选材管道入学的抬大树学系暖心大一学妹，不过尽管如此我仍然获益良多，如果真的 要用一句话来认真概括，那就是助教们在我的心目中都是我向往成为楷模的学长姊，而在 这门课的范围内，就比较偏向是大家长的角色。 σ 评分方式(给分甜吗？是紮实分？) 20% 作业 10% 习题课讲解 35% 期中 35% 期末 (以上拷贝自前一篇心得文 #1Xxe64L7，但我没修课，对这个部分就比较不 sensitive。) 根据修课同学经验，原始分数 → 60- 会被调成 C+，我猜只要五十分以上就有机会通过。 (Please notice that my writing will often be in a limit fashion in order to fit the style of this course.) ρ 考题型式、作业方式 作业的部分，就是除了期中期末考周之外每周出，隔周一晚上十点缴交，除了接近期中的 HW8 一次爆量给了大家将近一个月的时间完成。范本可以看我在文末附的连结 (因为某些 原因我 HW1 和 HW10 没有完成)。这学期好像还规定要用 Latex 打成 pdf，听起来就很花 时间。 每一份都有分成 Exercise: 自行演练，毋须缴交 和 Homework: 需要缴交 两部分，但是 因为光 Homework 的部分就已经吃不消了，根本无暇顾及 Exercise，我记得有一次助教 还有提醒同学要看 squeeze theorem 和 limit comparison theorem。 这边顺便提一下攻略的部分，每一题作业因为都是经典名题，通常网路上都找得到答案， 既然如此那有系统的找法就很重要。 * Rudin 可以参考： https://www.facebook.com/groups/120223891488/search/?q=Rudin https://drive.google.com/file/d/15vOGJ2Ica2zzlkyXkDglRdeskwJFuHhU/view * Apostol 可以参考： https://www.csie.ntu.edu.tw/~b89089/solution.html 两个连结都是同一位大佬维护的。因为 Rudin 有更新过 (原本的错误率很高，更新之後的 正确率提高许多，现在几乎是完全可信)，所以这边放新的连结。 再不满意的话就把 (书名 + 题号) 或 (题目内容) 拿去喂狗 (Google)，StackExchange 会给你很满意的答案，但是要认真找，万一找到不好理解的会很吃时间而且没帮助，经过 这门课之後搜寻解答/文章的功力会大增。(有个现象很神奇，期末结束到我打心得文这段 期间我把学期中写得很烂的作业题目重新检讨，发现几乎都有更好的解法出现，很多还都 是自己忽然发现，咦？这题明明可以这样解，怎麽我当初都没发现，这样。这显示了数学 确实需要时间消化，而且新学期都还没开始就已经有效果了。) 这学期没有小考。(听说下学期会有？) 期中考范围 Chapter 2 - 3，期末考范围 Chapter 4 - 6。题目我都有大致看过，除少数 一两题魔王题之外，其他大概都知道解法，整体而言难度个人认为中间再往上偏一点点点 (偶有课外、需要动脑)，复习的时候如果重点抓得很对 (？) 的话应该还是能考得不错， 只是抓重点也很吃经验，而且老师常出上课有补充但课本没有的东西 (例如 sequentially compact ==> compact 的证明、推广分部积分 ==> 推广 Dirichlet's Test 的证明等)， 这样应该就知道下学期的期考要怎麽准备了吧。 p.s. 这一两周内如果我有空的话会把期考的题目＋自己的参考作法贴到考古题版，期中考 优先。 ω 其它(是否注重出席率？如果为外系选修，需先有什麽基础较好吗？老师个性？ 加签习惯？严禁迟到等…) 好，然後这部分才是我这篇文章的重头戏。前一篇心得文 #1Xxe64L7 有人说缺乏手把手的 教学，也有人说数学课要在课堂上弄懂很困难，绝大多数还是要靠自己念，冲着这些留言 我把这学期习得的课程精要放在这一区，基本上就是名词解释，定理统整，证明技巧，和 老师派的作业连结起来，加上我自己的一些消化，一章一章的循环，把整个课程走过一遍. ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 1. The Real and Complex Number Systems 第一章作为书本的开端，目的是为了给一般普罗大众所熟知的实数集 R，一个逻辑严谨的 封闭代数结构去 解释/迎合 那些日常生活中经常使用到的运算规则。 书中先行证明了有理数集 Q 搭配其运算规则是一个有序体 (ordered field)，也就是同时 具备 (有序集:ordered set)、(体:field)、(加法:等量公理)、(乘法:正正得正) 四要素. 但是有一个经典范例：{q∈Q+ | q^2<2} 不存在最小上界、{q∈Q+ | q^2>2} 不存在最大 下界，告诉我们 Q 其实是有漏洞 (gap) 的，因此有必要再把 Q 扩展到一个更完备的有序 体，这边完备的意思是，每一个有上界的非空子集皆有最小上界 (the least-upper-bound property，简称 l-u-b 特性)。 Note. 由於本章的重点在於 l-u-b，封闭代数结构只是一个严谨性的必须，非分析重点， 因此只要是跟 field 相关的 axiom、proposition 或 proof 稍微浏览过就好，不用记。 Q. 什麽样的数学事实如果缺乏 l-u-b 的话会不成立呢？ 由这个问题的回答便可以让人体会到 l-u-b 的重要。 目前广为人知的扩展方式，根据书本所述，有 Cantor 和 Dedekind 两人所发明之方法， 但是无论是哪种扩展方式，都是为了要让 R 是个有 l-u-b 特性的 ordered field。课本 介绍的是 Dedekind 方法：他用一些 Q 的子集合 {q∈Q | q<r} 去代表每个实数 r，举例 来说，{q∈Q | q<π} 被拿来代表π，{q∈Q | q<3} 被拿来代表 3 等等。而这样的建构 方式被证明为满足 ordered field 的条件以及 l-u-b 特性，前者的证明不稀奇，可自行 参见课本，下一段只解释为何会满足 l-u-b 特性 (课本第 18 页的 Step 3)。 考虑一个 R 的非空有上界子集 A = {{q∈Q | q<r} | r∈A}，将 A 里面的每个集合联集 起来会得到γ= {q∈Q | q<γ} 其实也会是一个实数，理由要看课本，但重点在於因为γ 本身是个上界 (它包含了每个子集 {q∈Q | q<r} for all r∈A)，而且任何比γ小的实数 δ (的内容物一定会漏掉某个γ的内容物所包含的有理数 q，但是这个 q 一定又会被某个 α∈A 的内容物 {q∈Q | q<α} 所包含，所以) 势必不是上界，故γ是 A 的最小上界。 从 R 中萃取出代表 Q 的那些人，其运算也会和纯粹的 Q (那些不是用集合代表的有理数) 结果相同，因此两种版本的 Q 同构，我们可以放心地说 Q 是 R 的一个 subfield。此外 任意两个有 l-u-b 特性的 ordered field 也会同构，课本只提没证，因此像 R 这样子的 结构其实是唯一的。 Q. 如果不使用上述建构方式，还有其他方式说明普罗大众所认识的 R 有 l-u-b 特性吗？ 介绍完 R 之後课本准备了两个定理：Theorem 1.20 利用 l-u-b 特性证明阿基米德特性、 Q 在 R 里面稠密特性，Theorem 1.21 也利用 l-u-b 特性证明了 n 次方根的存在性。这 两者都是 l-u-b 特性的应用。大概抓到主要的证明骨干就好，细节不用太在意。只是里面 有个地方 Rudin 有偷偷用到正整数的良序原则 (the well-ordering principle)，但他不 说，害我上 StackExchange 翻了好久，这样真的不太行。 剩下课本提到的广义实数系统、复数系统和欧几里得空间都是一些基本的 common sense， 很快就可以看过去。 老师指派 HW1 的第 1, 2 题，也就是 Rudin 1.6, 1.7，是证明指对数律，一看就知道要 学 Theorem 1.21，第 4 题是熟悉 l-u-b 特性，会用到 Theorem 1.20。其他题目就跟 R 本身没什麽关系，但也是第一章的重点。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 2. Basic Topology 第二章主要是在基础的点集拓朴 (point-set topology / general topology) 上做事，但 奇怪的是 Rudin 竟然没有介绍什麽是拓朴 (topology)，它基本上就是去指定一个母集 X 里面哪些 X 的子集必须是开集 (open set)，只要这个指定满足：(1) 空集和母集必须是 开集、(2) 任意有限个开集们的交集也必须是开集、(3) 任意 (允许无限多个) 开集们的 联集也必须是开集，这三个条件，那母集和指定合起来看就是一个拓朴空间 (topological space)。这样子的定义至少会让 R 上面的每个开区间 (open interval) 都可以是开集， 可能可以视为一个拓朴定义的 motivation 吧我猜？ Ref: https://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html Q. 为何拓朴空间要这样定义？有没有再进一步更强烈的动机？ 在开始重头戏之前，必须先介绍何谓有限、可数无穷多、不可数无穷多。课本把可数无穷 多简称可数 (countable)，简单来说就是我们有办法给那个集合一种排列方式，确保每个 元素都有办法被数到，即每个元素都能被赋予一个正整数 id，举例来说，正整数集 N 是 一个可数集，因为每个元素的 id 可以等於自己，整数集 Z 也是一个可数集，因为我能从 0 开始一左一右的数。不可数无穷多 (uncountable) 通常会使用康托对角线法 (Cantor's diagonal argument) 判定，举例来说，[0,1] 内每个数字都可以表示成一个二进位小数， 先假设可以排成一列，再把所有第 i 个数字的第 i 位数值翻转过来 (0→1、1→0)，也会 形成一个新的 (不在该排列内的) 数字落入 [0,1]，造成无论怎麽排列都有数值不在其中 的矛盾，於是断定 [0,1] 不可数。康托对角线法常见但简单。另外，为了要处理两个无穷 多的集合大小之比较，定义两集合大小相等 if 两集合的元素彼此之间存在 1-1 的对应； A 集合大小严格小於 B 集合大小，如果每个从 A 打到 B 的 1-1 函数都不是 onto。 Q. 可数和不可数的差异为何重要？在後面很多章节会常常出现，很难一言以蔽之。 不知道有没有令人信服的简答。 Q. 每个正整数也都可以用一个二进位正整数表示，那为什麽不能用对角线法证明正整数集 是个不可数集？ 接下来才要正式进入本章的基础，也就是赋距空间 (metric space)，赋距空间顾名思义， 就是对空间中的任意两个点定义它们的距离，这个距离必须满足：(1) 自己到自己的距离 = 0、(2) 不同人之间的距离 > 0、(3) 距离没有方向性、(4) 三个人之间的距离满足三角 不等式。由此可见，现实世界的三度空间中人与人之间的距离便满足 metric 的定义。那 还有没有其他模型/问题是能透过赋距空间去描述/解决的呢？ 课本 32 页的 Definition 2.18 必须熟记，是一切的开端，尤其要能随时转换成白话文： * neighborhood 邻域 / open ball 开球：收集那些距离圆心 p < 指定正半径 r 的点， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　符号通常简记为 Nr(p) 或 Br(p)。 * limit point 极限点：以极限点为圆心、任意正半径画「不含圆心的中空」开球，总是 能与子集交集。 * closed set 闭集合：子集的极限点只会出现在子集内。 * open set 开集合：子集内的每个点都可以为圆心画一个足够小的开球不超出子集区域。 　　　　　　　　　 注意到同一个子集是不是 open 会跟母集的范围有关，例如，X 轴上 　　　　　　　　　 的 (0,1) 开区间在 R 是为 open，但在 R^2 则不是 open。想严谨 　　　　　　　　　 的话要明确地说子集在谁里面是 open，Theorem 2.30 就是在谈这个 　　　　　　　　　 现象。另外，Theorem 2.19 也说开球一定是开集合。 * bounded set 有界集合：宇宙中能找到一个点，使之与子集的每个人之距离有上界。 * dense set 稠密集：例如，我们说子集 Q 在母集 R 里面稠密，因为以每个 r ∈ R 为 　　　　　　　　　　圆心所画出来的任意开球总是能包到一个 q ∈ Q。 课本还有定义其他名词，这边没列出来的都不太重要，尤其是 perfect set，作业不出、 期考也没考，它可能不是分析的重点。 Q. Rudin 好像是把 open ball 限制在欧几里得空间 R^k，但其他书本好像是把 Rudin 的 neighborhood 写成一般的 open ball，然後 neighborhood 这个词真正的意思是包住某个 点的任意 open set，也就是不一定要像 ball 的形状。这边我不太确定，留待大神确认。 有了上面 open set 的定义之後，就能来解释为何赋距空间也会是一个拓朴空间，理由也 不难，课本没提但老师上课有补充。首先空集和母集一定符合 Definition 2.18 所定义的 开集合，因为空集里面没有元素，故不违反开集的条件，那不违反就是符合；而母集里面 的开球不管半径多大也不会超过母集，故母集也是一个开集。任两个开集的交集之中每个 人的开球半径只要取分别在两个开集之中符合定义之半径们的较小值，画出来的开球自然 也会落入两开集的交集之中，故交集为开集。另外任意个数开集的联集之中每个人只要画 一个开球落入某一个开集，自然就落入整片联集，故联集也为开集。这样就证明完毕了。 除了 metric space 之外，还有许多其他种空间也是拓朴空间，例如 Hausdorff space， 其定义为对任相异两点，我总是可以找到两个互斥的 open sets 分别包住一个点，也就是 那两点被邻域分离，而它又被称为 T2 空间或分离空间。之所以要谈这个，是因为 Rudin 这一节很多定理其实不需要到 metric 这麽强的条件，很多时候只要 Hausdorff 就可以， 有些甚至连 Hausdorff 都不需要，在 general topological space 也行。就强度而言， 赋距空间 > Hausdorff 空间 > 一般拓朴空间。 课本这一节还有提及许多其他跟赋距空间相关的定理，每个都很常见、基础、重要，而且 证明不困难 (相较於後面的章节)，最好都弄懂记熟。另外，如果只是把这门课的角色定位 为严谨地解释大一微积分所教过的定理的话，那只要知道 R^k 也是一个 metric space， 这样往後每次遇到在 metric space 才较通用的叙述，就去思考怎麽对应到 R^k 上就好。 接下来才是这一章最最重要、也最难以捉摸的小节 -- 紧致集 (compact set)，它的定义 ：只要是联集起来能盖住目标子集 E 的一堆开集 {Gα}，我们称之为 open cover，都能 从中抽出有限个开集出来，我们称之为 finite subcover，继续盖住 E。这边比较容易让 人混淆的是，不是只要找到一个 finite cover 盖住 E 就能说 E 是 compact，否则每个 开集都能被自己覆盖，难道每个开集都是 compact？显然否，像开区间 (0,1) 就不紧致。 之所以说 compact 难以捉摸是因为，与之相关的定理证明都并不非常直观，又很多样化， 它就好像是部队长官 (例如：士官长) 所订下的一个大原则 (看看那个定义简陋得跟什麽 一样)，却不提供具体命令，而是等着班长去揣摩上意 (也就是课本、作业、上课补充提点 的诸多特性)，制定口令与福利交给班兵去执行 (背诵、使用定理)。大定理的证明通常都 要先来个九弯十八拐才有办法顺利又安稳地到达目的地，篇幅也都不小，几乎都要靠背诵 才能在考试时写出来，尤其定理一多又不限缩范围的话，期考跟 compact 证明相关的分数 几乎都拿不到。如果要自己构造出在 compact 空间底下的证明的话，唯二的方法，第一， 尽量想办法凑到一个 open cover 然後对它 reduce 到 finite subcover 继续做事，第二 就是归谬法，假设不 compact (存在某个 open cover 无法 reduce 到 finite subcover) 然後构造出矛盾，结果就只能是 compact。 Q. 我至今仍然无法给 compact 这个词一个比较精简的感觉。我也主观认为 compact 一词 堪称全文文眼，给这门课注入一种活水，没有 compact 很多性质不会对，以後如果在其他 地方看到 compact 也许要很开心？(Ex. Chapter 4) 这边列举一些知名的定理：(有些 HW3、HW4 的题目我没列出来，但都是为了证明下面所列 　　　　　　　　　　　　 的 metric 空间底下那些 compact 的等价性，篇幅都很长。) * Hausdorff 空间底下的 compact set 必为 closed set。 * 拓朴空间底下的 compact set 的 closed subset 也是 compact。 * Hausdorff 空间底下一群有 finite intersection property 的 compact sets，全部的 交集必非空。 * 拓朴空间底下 compact set 的 infinite subset 必定有 limit point。 * Nested interval property (及其高维度的 k-cell 版本)。 * 每个 k-cell 都是 compact set。(注意到这个性质在以後的章节会常常用到。) * R^k 空间底下 closed + bounded <==> compact。(Heine-Borel Theorem 也很常用。) * Metric 空间底下 compact <==> limit point compact (HW4 的 Rudin Ex. 2.26) <==> sequentially compact (上课投影片补充、期中考题) 　　　　　　　　　　　　　<==> complete & totally bounded (投影片补充但没考)。 * R^k 空间底下每个 bounded infinite subset 一定有 limit point。 Rudin 把 Cantor set 的建构放在 perfect set 一节介绍，但是如同前面所提，perfect set 可能不是教学重点，所以就专心看 Cantor set 就好，它有很多好玩的性质，是这门 课之中一个很重要的集合，但是考点不多因为很多东西都算是课内教材，常出在作业里， 没什麽东西可以考试当场推导。连通集 (connected set) 一节就只有两个定义： * 我们说两子集被分隔 (separated) 如果其中一个集合内的每个点都能为圆心画一个足够 小的开球不交於另一个子集。 * 如果一个集合无法表示成两个非空分隔的子集，则说这个集合为连通集。 外加一个 R^1 上的重要定理：(也很常见) * 数线上的每个连通集必为 (不管端点) 区间，每个 (不管端点) 区间也必为连通集。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 3. Numerical Sequences and Series 上一章主要单纯讨论点与点之间的关系，这一章继承上一章，特别把可数个点排成一列， 形成一序列，序列内容如果皆为纯实数，又可称为数列，把这个数列加总，形成一级数， 无论是序/数列或级数，都讨论它们的敛散性。 从序列开始，先介绍收敛的概念，它的定义为：对於每个误差ε> 0，我总是可以找到一个 时间点 N 使得它之後的所有人跟收敛点 (limit) 的误差都 <ε。口语的现象解释，就是 只要时间够久，序列总是会往收敛点无穷地接近。写数学证明的时候要从定义下手，但是 观察、预测数学现象或结论时还是得从口语现象着手会比较容易，这也是在看 Rudin 这本 书时有一点必须注意的：不要受到抽象语言的限制而见树不见林 (by 正在读博士班一年级 的黄同学)，也就是，不要变成符号机器，我常写完作业之後忘记回过头用一句话总结解题 手法，要小心。这个现象到後期会愈来愈常发生。 有了序列之後，自然就有子序列，重要的相关定理有： * 母序列收敛到 p <==> 每个子序列皆收敛到 p。 * Compact set 内每个序列都有收敛子序列。(i.e., compact => sequentially compact) * Bolzano-Weierstrass 定理：R^k 内每个有界序列皆有收敛子序列。 * Metric 空间底下：所有收敛子序列的收敛点会形成一个 closet set。 另外一个跟收敛的概念有点类似的，称为柯西序列，它的定义为：对於每个误差ε> 0，我 总是可以找到一个时间点 N 使得它之後的任两个人距离都 <ε。一个显而易见的结果是， 在 metric space 底下，收敛序列必为柯西序列 (Theorem 3.11(a))，但反之则不一定， 举例来说，在 Q－{0} 底下，{1/n} 是柯西序列，但它原本在 Q 的收敛点 0 被挖掉了， 於是我们说 {1/n} 在 Q－{0} 底下并不收敛。随之而来的问题便是，什麽情况下柯西序列 必为收敛序列？Theorem 3.11(b)(c) 告诉我们 compact set 和 R^k 底下会有这个性质， Definition 3.12 则把有这个性质的空间称为 complete (完备的) metric space。判断为 柯西序列的好处是，不需要知道收敛点是谁，就能判断此序列是否收敛。这一节最後还有 一个重要定理 (Theorem 3.14，单调收敛定理)：单调数列 收敛 <==> 有界，也很常用。 Q. 第一章所提的 R 内每个有上界非空子集皆有最小上界和 R^k 是一个 complete metric space 是否有某种关系？例如，等价？我是看到这篇文章的第五题才有此疑问。 https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/NTU-Exam/M.1550379031.A.195.html 介绍完序列收敛的概念之後，一个很自然迎面而来的问题，便是：如何判断一个数列是否 收敛？这便是 limsup 和 liminf 存在的理由啦！课本把一个数列的 limsup 定义为所有 收敛子数列的极限们收集起来的最小上界，发散到正/负无穷大也算收敛；liminf 定义为 所有收敛子数列的极限们收集起来的最大下界，发散到正/负无穷大也算收敛。因为这样的 定义，每个数列的 limsup 和 liminf 一定存在。 老师出的 HW5 提到 limsup/liminf 还有另外一种定义方式，就是先看一个时间点之後的 sup/inf，再对这个时间点取 lim，第四题要同学证明这两种等价。理由其实也不难理解， 如果暂时把 sup 当成 max，便可以直接想成任意时刻总是有一个只看当下以後的最大值， 但是那个最大值本身会收敛到 limmax，於是持续地取它们就会得到一个极限为 limmax 的 收敛子数列，最後只要把 max 用 sup － (ε→0+) 取代就能得到 limsup 的版本，於是 两者相等，liminf 亦比照办理即可。详细的证明我写在自己的作业档里面。 这边也牵涉到一个重要的证明技巧，因为 lim 就是 limsup 和 liminf 的合体 (Example 3.18(c))，所以当我们证明数列的 lim 是用 p－ε< x < p＋ε for all ε> 0 的时候， 证明 limsup 就会很自然地采用 x < p＋ε for all ε> 0 则 limsup ≦ p，同理 证明 liminf 也会很自然地采用 p－ε < x for all ε> 0 则 liminf ≧ p 的手法， 这一点都不意外，另外 for all ε> 0 应该也可以是 ε→ 0+。老师曰：当还不知道数列 是否收敛 (lim 是否存在)，先操作 limsup 和 liminf。 我自己在判断数列的 limsup 和 liminf 的时候，会采用以下两种规则： * 如果无论什麽时间点以後总是有人 ≧ x，则 limsup ≧ x。 * 如果存在某个时间点以後全部的人 ≦ x，则 limsup ≦ x。 * 如果无论什麽时间点以後总是有人 ≦ x，则 liminf ≦ x。 * 如果存在某个时间点以後全部的人 ≧ x，则 liminf ≧ x。 这两个规则可以分别从 Theorem 3.17(b) 和 Theorem 3.19 推导出来，再加上存在性以及 唯一性就很容易抓到实际值。HW6 的第五题有让同学练习抓 limsup & liminf 的值，可惜 难度偏低。 Q. 不知道有没有去抓一个已知或未知数列的 limsup 和 liminf 的更好方法呢？ 如果把 lim 拔掉，只是要证明一个集合的 sup 或 inf，手法也是一样，举例来说，我想 证明 sup{f(x)－f(y)：x,y∈S} = sup{f(x)：x∈S} － inf{f(y)：y∈S}， * LHS ≦ f 的上界 － f 的下界 = (sup{f(x)：x∈S}＋ε1)－(inf{f(y)：y∈S}－ε2) for all ε1,ε2 > 0，如果让ε1,ε2 → 0+ 的话就有 LHS ≦ RHS； * LHS ≧ 较高的 f － 较低的 f = (sup{f(x)：x∈S}－ε1)－(inf{f(y)：y∈S}＋ε2) for all ε1,ε2 > 0，如果让ε1,ε2 → 0+ 的话就有 LHS ≧ RHS。 於是两者相等。 接着课本有介绍一些常见数列的极限 (Theorem 3.20，要看)，接着就来到级数，这边通常 也只能判断敛散，以下一样罗列一些重要的测试法 (其实还不少，有些初微都教过了，後 半部有些证明都还蛮复杂，我自己只有顺过一遍而已，并没有翻成白话版本记起来)： * 级数和的 Cauchy criterion * 末项不收敛到 0 ==> 级数不收敛 * Comparison Test (only for 非负) * Condensation Test (only for 非负递减，这个对付 log 还蛮有用的ＸＤ) * P-series 收敛 <==> p > 1 * Root Test * Ratio Test 一般而言，Root Test 比 Ratio Test 还要强 (Theorem 3.37)，但实务上为了计算方便， 会先使用 Ratio Test。老师这边有举一个例子说明用 Ratio Test 去计算 n/(n!)^(1/n) 的极限值。另外，下面的 test 的证明可能会用到 summation by parts，就是一个跟分部 积分很像的东西，但是推导简单许多，这次期中考有 8 分在这里。 * Dirichlet's Test：一个前缀和总是有界的级数 (未必收敛)，它的每一项乘以一个非负 　递减收敛到 0 的系数，所形成的新级数也会收敛。 * Abel's Test：一个收敛级数，它每一项乘以一个单调有界的系数 (未必收敛到 0)，所 　形成的新级数也会收敛。(HW7 的第二题，Rudin Ex. 3.8，可跟上一个 test 作比较。 　另外，作业同一题还有配 Apostol Ex. 8.27 跟这个类似，但结论很难记，也没有名字 　考试机会我猜不高。) * Leibniz's Alternating Series Test：级数每一项的正负交错 (可接受 0)，且绝对值 　递减并收敛到 0，则级数收敛。 * 级数绝对收敛 ==> 级数收敛 * 两收敛级数的 Cauchy product 可能发散 (Example 3.49)，但其中一者绝对收敛的话则 　必收敛，而且级数和为两级数和之乘积 (Theorem 3.50)；此外，如果已经确定收敛的话 　乘积也只能是两级数和之乘积 (Theorem 3.51)。这部分可能较难出题，因此考点较少。 * 级数经过重排之後，收敛级数可能改变和，甚至发散 (Example 3.53)，但是只要先确定 　是绝对收敛的话，不管怎麽重排都一定会收敛 (Theorem 3.55)，而且和不改变。这边有 　一个很有趣的定理称为 Riemann's Rearrangement Theorem (Theorem 3.54)，只是它的 　证明有点困难，我就没去理解它。 这些 Test 应该会用比会证还要重要，可能要多练题目熟悉感觉。 最後需要注意的是，三角函数的级数和变化非常多端，考试很爱考，和差化积、积化和差 应该要熟悉。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 4. Continuity 从这章开始讨论函数的连续性，已经开始有渐渐回到初微的感觉了。一开始先介绍函数的 极限值，我这边就不写它严谨的定义了，基本上就是 x 愈靠近 (但不等於) p 则 f(x) 愈 靠近 q，这个逼近的现象与 f(p) 无关，此外这个现象也可以写成序列的版本。有了极限 的概念之後就可以来定义函数的连续，其实也就是极限值 = 函数值。接下来想当然尔就有 一连串跟连续函数相关的定理，以下罗列： * 两个连续函数的合成也是连续函数。 * 一个函数连续 <==> 每个对应域的开子集被反映射拉回来也会是一个定义域的开子集。 　　　　　　　　　　　　　　　 闭　　　　　　　　　　　　　　　　　　闭 　(注意到以上这个叙述是在 general topological space 的原始定义。) * 对应域如果是 R 或 R^2，那两个连续函数的加、减、乘、除也会是一个连续函数。 * 一个打到 R^k 的函数连续 <==> 每个 (打到 R 的) 分量函数也都要连续。 * 两个打到 R^k 的连续函数的相加、内积函数也会连续。 * 从 R^k 打到 R 的每个分量投影函数也都是连续。 * 每个 R^k 上的多项式，以及两个多项式相除 (如果分母不为 0)，也都是连续函数。 * R^k 上的绝对值函数也是连续。 有了对连续函数的基本认知之後，就可以来看它会把怎样的集合送到怎样的集合： * 连续函数会把 compact set 送到 compact set。(对一般拓朴空间也成立) 　现在固定住连续 + 定义域 compact 两条件： 　- 如果对应域是 R^k，则值域会 closed & "bounded"。(By Heine-Borel Theorem) 　- 如果对应域是 R^1，则值域有最大最小值。 　- 如果该函数是 1-1，则它的反函数也会连续。 * 连续函数会把 connected set 送到 connected set。(对一般拓朴空间也成立) 　- 打到 R 的连续函数有中间值定理 (Intermediate Value Theorem)，反之未必成立。 还有一个比连续函数稍微再强一点的，称为「均匀」连续函数，差别在於「普通」连续只 在每个点上面定义，输入离目标点很近的时候，输出就不能离极限值太远；但是「均匀」 连续是对任两个点定义，只要两个输入靠得很近，输出也不能相差太多，像 f(x) = 1/x 就没有均匀连续，因为当我固定两个人的差距，同时往 0+ 靠近的时候它们的差距会愈来 愈大。注意到：只要是去举没有均匀连续的反例，通常都会拿 1/x 出来用，不得不牢记。 而且均匀连续也是连续的一种。 * 如果定义域是 compact，则在定义域上的连续函数，也会是均匀连续。 上述的定理应该是都要熟记，证明也不太困难。 介绍完连续之後，就来探讨不连续，这边都只看 R 打到 R。先简单解释何谓从左/右边让 函数值逼近一个极限，也就是左/右极限，再定义两种不连续点：第一款是左右极限皆存在 第二款是左右极限至少其中一者不存在。那，单调函数不存在第二款不连续点 (Corollary of Theorem 4.29)，而且单调函数的不连续点为有限或是可数个 (Theorem 4.30)。 这里还有两个很重要的结论出在作业跟期末考，我个人也觉得蛮有趣的。 * 单纯的连续函数不见得会把柯西序列送到柯西序列，但只要均匀连续的话就会保证。 * 考虑 E is dense in X 以及 T is complete，f 从 E 或 X 打到 T： 　- 如果 f 在 E 上面连续，则不保证 f 能连续地延展到 X，但是如果存在，必唯一。 　- 如果 f 在 E 上面均匀连续，则保证 f 能唯一连续地延展到 X，而且一定均匀连续。 详细的说明都写在我的作业档里，这边就不详述。其他知名结果也都出在作业，不过目的 就只是为了让同学熟悉连续函数而已，代表性没那麽高。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 5. Differentiation 到了这一章，又更接近初微的章节了。函数的微分定义为割线斜率的极限，在闭区间端点 可接受单边极限。可微亦隐含连续。还有连锁律：一般的 d(gf)/dx = d(gf)/df * df/dx 会在 df≠0 时成立，如果 df＝0 的话可以特例讨论得到整个值为 0，只是 Rudin 的写法 其实也没考虑到 df＝0 的状况，个人观点认为 Rudin 的证法和一般初微常写成如上述的 通分法大概是同一件事。还有可微的极值点微分必为 0。还有均值定理，无论是单维度或 双维度，证明手法都是先考虑连接头尾之曲线跟直线的差，头尾的曲直差一定都是 0，便 能使用 Rolle's Theorem 找到差距微分为 0 的点，还原回去就是曲线跟直线同斜率了。 另外可微分的实函数之微分有中间值特性，因此其微分没有第一款不连续点。 罗毕达法则，如果是 ∞/∞ 的 case，应该可以先转成 0/0，再用二维均值定理，也就是 f'(ξ)/g'(ξ) = (f(x)-f(y))/(g(x)-g(y))，如果我们想要知道 f(x)/g(x) 当 x → b- 的极限值，可以先让 y → b- 使得 f(y), g(y) → 0，原式则化为 f'(ξ)/g'(ξ) = f(x)/g(x)，再让 x → b-，那因为 x < ξ < b 便使得 f'(ξ)/g'(ξ) 可以取值的范围 缩到几乎只剩下一个值，也就是 f'(b-)/g'(b-)，因此 f(b-)/g(b-) = f'(b-)/g'(b-)。 泰勒展开式说明一个处处 n 次可微的实函数，必定可以由一个 n 次多项式去近似，展开 中心可以任选为α，其中最高次项系数 f^(n)(ξ)/n! for ξ∈(α,x)，因为不知道ξ的 实际位置，如果知道其上界 (for all ξ)，就可以估计近似误差了。证明方式就是对函数 －多项式 ＝ 0 的这个方程式持续的作微分＋Rolle's Theorem 的循环 (注意到方程式对 展开中心α永远成立)，直到最後剩下一个最高次项系数的时候，就证明 f^(n)(ξ)/n! 的 存在性了。 最後才提醒均值定理、罗毕达法则对向量函数未必成立，举例来说，圆周运动头尾相接， 但过程中的速度恒不为零。为此有放宽定理 (Theorem 5.19)：空间运动之起终点的距离≦ 所花时间 * 过程中最高速率，也就是平均速度的量值≦最高速率，这也很好理解，如果反 过来的话就算选最短直线也无法在指定时间内走完指定距离，课本是用投影长≦向量长来 证明，道理一样。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 6. The Riemann-Stieltjes Integral 这章接在微分之後，自然要讲积分，只是这边的定义是初微的加强版 UP UP UP，比黎曼和 复杂多了。听说书本定义的积分其实是 Darboux (达布) 积分，也就是对整段积分区间的 一种分割 (partition) 内的每个子区段 (闭区间) 都各自取 f 的 sup 和 inf 再乘以该 区段长度再加总而得到上和 (upper sum) 与下和 (lower sum)，如果分割够精致使得上下 和趋同，则说 f 在区间上达布可积 (Darboux integrable)；而 Riemann (黎曼) 积分对 分割的要求则是：如果所有满足最长子区段 < 指定门槛的分割，在每个子区段 (闭区间) 内任取函数值所得到的和彼此之间都够接近，则说 f 在区间上黎曼可积 (Riemann inte- grable)，像这里就没有所谓的上下和。老师好像是说因为 Riemann 在当时比 Darboux 更 有名气，所以书本才把第一种定义方式误植为黎曼积分，不太确定是不是这样？注意到在 dx 情况下，两种定义等价。 还有一种更进阶的积分方式，是从 dx 推广为 dα(x)，也就是 integrator 可以是任意的 递增函数 (不用连续)，那麽原本要乘以子区段长度Δx 的地方就都改为乘以Δα(x)，那 它对应回原本两种定义的积分又被分别称为 Darboux-Stieltjes Integral 以及 Riemann- Stieltjes Integral，上一段的原版定义便可以想成是α(x) = x。注意到，在一般的 dα 情况下，两种定义的积分并不等价，因此严格说起来这本书只算谈了 Darboux-Stieltjes Integral。 因为这是理论课，有了定义之後通常只会讨论哪些情况可以积分 (也就是有办法让上下和 趋同)，不会特别讨论哪些积分算出来是多少，以下罗列 Theorem 6.4 到 Remark 6.18 的 各项定理，记得时时都要让 f 保持 bounded： * 任何一个比原本的分割更精致 (保留原本的切割点，再多新增几个) 的新分割只可能会 　让下和提高、让上和下降。 * 下积分 (所有可能下和的 sup，最精致值) 不会超过上积分 (所有可能上和的 inf，最 　精致值)。 * (Theorem 6.6) 函数可积 <==> 总是存在分割使得上下和小於任意的指定误差ε> 0。 接下来要一连串地运用 Theorem 6.6 来说明哪些情况下可积，目标大体上都是希望有足够 好的分割使得Σ(Δf)(Δα) → 0。 * 如果 f 连续，则 f dα可积：因为 f 连续的缘故，只要分割够精致那每个区间的Δf 　就会 → 0，又ΣΔα为有限积分区间全长，故最後的Σ(Δf)(Δα) → 0。 * 如果α连续，则只要 f 单调 (递增或递减) 就 f dα可积：其实就是上一个定理的对偶 　版本，分割够精致会让每个区间的Δα → 0，要让ΣΔf 为有限的其中一种方式就是使 　f 单调。 * 如果 f 只在有限个点不连续，而且α保证会在 f 不连续的地方连续，那 f dα可积： 　把分割看成有包住 f 不连续点、不含 f 不连续点两部分，前者可让ΣΔα → 0，後者 　可让Δf → 0，合并起来还是能让Σ(Δf)(Δα) → 0。 　Q. 如果改成 f 在可数无穷多个点、不可数无穷多个点不连续，定理也会成立吗？ * 可积函数 f 丢进连续函数φ里面得到φ(f(x)) 一样可积，也就是连续。可积＝可积： 　证明困难之处便在於因为 f 未必连续，不能直接那麽方便 Δx→0 ==> Δf(x)→0 ==> 　Δφ(f(x))→0。那该怎麽做呢？一样学上个定理把分割看成两个部分：一部份是 f 很 　听话地 Δf(x) → 0，它可以直接 follow 上面那句话得到Δφ(f(x)) → 0；另一部分 　是不听话地 Δf(x) !→ 0 (! 取程式语言中 NOT 的意思)，这部分利用 f 可积的特性 　可以推出ΣΔα → 0，如此一来合并起来还是能让Σ(Δφ。f)(Δα) → 0。 * Theorem 6.12 是一些很基本常见的特性，可自行参阅课本。 * 两个可积函数相乘一样可积，这可用乘法公式推出来。积分的绝对值≦绝对值的积分。 * 如果α是 (递增) 阶梯函数的话，那 f dα 可表为α在每个不连续点的跳跃差 * 对应 　到的 f 函数值之总和。证明也是可自行参阅课本。 * 如果α'可积，则 fdα 和 fα'dx 的上积分会相等、下积分亦然。结论虽直观，但证明 　的细节其实蛮繁杂的，我当初卡了好几天，还上 StackExchange 才把课文的漏洞补齐。 Remark 6.18 以物理问题为例说明 general dα 可以视需要转为普通的 dx 或者是级数。 接下来就带一些更重要、更高层次的重要结果，例如变数变换 (其实就是座标轴转换，没 什麽学问)、微积分基本定理：如果 f 可积则反导函数 F 连续，如果 f 还连续的话则 F 可微而且 F' = f (Q. 让 F 可微的最基本条件会是 f 在该点的左右极限都相等，使得 F' = lim f 吗？)、若 f 连续则在闭区间上的定积分可表为反导函数在两端点的函数值差、 分部积分 (Theorem 6.22：F 和 G 皆可微、Rudin Ex. 6.17：F 递增, G 可微、老师上课 补充：F 和 G 皆递增)。 最後才谈高维度的积分，例如微积分基本定理、积分的绝对值≦绝对值的积分，以及空间 中的路径长 (曲线长)＝过程中速率的积分(无穷细致的割线总长)，证明技巧一样用我上面 第三章所举的例子即可。我对高维度的比较无感，这边的证明细节就都没仔细去 trace。 较重要的结果可能有 integration by parts、improper integral、integral test (函数 要非负递减)、Dirichlet's test for improper integrals、Riemann-Lebesgue Lemma， 後两者是作业都有出、而且期末考都有考出来的。 Q. 这边我想补充问一个问题，期末考第 5(b) 题要证明积分版本的 Dirichlet's test， 老师题目说要用上课教过的分部积分，但是我从以下两个参考资料发现，如果要用的话， https://math.stackexchange.com/q/3752351/397319 https://math.stackexchange.com/q/3126392/397319 G = gdx 应该不会是 monotone，如果要跟资料一样照用的话，就违反了老师教的 F 和 G 都要递增的版本；不然就只能用积分的第二均值定理去证，不知道大家怎麽看？ ------------------------------------------------------------------------------- 老师学期末除了讲到 Theorem 7.17 之外还补充了 measure zero 定义跟 Theorem 11.33, 可能这样比较完整吧？我猜。这部分因为不在考试范围我就不详述了。 Ψ 总结 打了这麽多终於来到了总结，细心的人会发现这篇文章许多地方语气不太连贯，因为我从 期末结束之後 (含年假) 就开始构思这篇文章，中间又回过头去补许多地方，到今天才算 正式结束 (然後下周又要开学了，时间过得真快)。 1. 分析导论是一门训练用严谨的数学语言描述/定义自然现象，并且操作数学语言向听者 严谨地论述/证明自己所预测之自然现象为真的课程。例如，A 数列最後会很靠近 3，而 B 数列最後会很靠近 5，为什麽 A+B 数列最後就会很靠近 8？最後是什麽时候？靠近是靠得 多近？也因为如此，它跟抽象代数像是群论不太一样，虽然都有需要通灵 (i.e., 看解答 才写得出来) 的题目，但绝大多数都是只要熟悉定义及其相关的现象，这边的熟悉必须要 到能向自己家里的高龄阿嬷解释何谓连续，这样的程度，就有办法自己想到作法的。我会 把这门课习得的工具比喻为放大镜，学愈多、理解愈透彻，就相当於把放大镜擦得愈亮， 那当你把放大镜往角落望去，高倍率、高清晰的放大镜势必能看得愈仔细，也就能愈容易 想到思路 (proof rule) 证出定理了。 2. 老师出的作业真的很优，不过极少数题目解法过於特殊偏颇 (例 Rudin Ex. 3.14(e)), 无法内化为放大镜，如果为了完成作业 (优先把解法写完，而非理解个中道理)，可能本末 倒置而使得期考表现不好，建议还是先把基础的东西弄熟，再回过头来看较为困难的作业 题目。毕竟期考占分较重。如果不想听课想自己看书的话，那 Rudin 也是很不错的选择。 3. 最後是我一直很想晒出来的课本和作业笔记，因为课本内含版权物所以有设密码，它被 称为国王的密码，藏在这篇文章之中的某处，不开灯是看不到的。21FIMA21FIMA 　 课本:https://drive.google.com/file/d/1lf7TYVHuST5Y_cm5RLUp_J44rB4a0mq1 HW1: https://drive.google.com/file/d/1BAkfOSlYyUAppXr2xCmtgpmO2I5TLuMX HW2: https://drive.google.com/file/d/1uHwHD_-SFnwelt3JdzA4AMm-xud3zB9v 　 HW3: https://drive.google.com/file/d/1gIM_Iv1iVduvPX13Kj7XWoYmajZaPdq- HW4: https://drive.google.com/file/d/1IewHt2nK3H4P0qXwsSSNggQ3dWeb0SAU 　 HW5: https://drive.google.com/file/d/1r1HsTwKQcC4BpN68-8IkT5l6G8kYcLR9 HW6: https://drive.google.com/file/d/1uZFeS6SKrn8Z0JnerPoLeWK2azYlo0Pl HW7: https://drive.google.com/file/d/19Gk3nKcyLK_H2NKgYqTeOXGDpQsprFqr 　 HW8: https://drive.google.com/file/d/1BSKM8OoZ7FbvOophcQqlrEh72_6xrzAs 　 HW9: https://drive.google.com/file/d/1LXGf2EHumcih-mOmlVThfF8F6qbBfElG 　HW10:https://drive.google.com/file/d/1nPdg1m9y-1VlMnZ-iS6X_uj7cBq8msr6 　HW11:https://drive.google.com/file/d/1Ui-RuRWrFJRhKZabxfJY804HG1uGBdxH 我会打这篇文章有一方面也是想知道数学系的人是怎麽念书的，怎麽能还在学龄时期就能 在短时间内从数学语言转为自然语言，像我不在学龄都还要花比普通人多好几倍的时间。 如果这篇文章以及附档的笔记有任何错误，都可以在下面的留言，这门课在这学期带给我 许多回忆，於是我用这篇文章作为回馈给板上，谢谢各位。 -- --

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