(转自管乐社~) 作者: KevinLan (Posaunenblaeser) 看板: NTUWindBand 标题: 好吧... 欠了一阵子了... 时间: Tue Apr 28 02:25:43 1998 上次说要解释纯率计算的问题... 结果好像欠了一阵子了... 趁现在版面有点乾就补上来吧... ok... 就从古文明开始讲起好了... -- 还记得国中数学的毕氏定理吧? 现在要提的就是那个传说中以毕达哥拉斯为首的学派. 他们曾经研究振动的弦, 发现音乐的音程乃是受到整数比的支配. 弹拨一跟紧张的弦, 使它发出一个音以後, 我们可依简单的整数比值, 改变弦的长度, 而得到不同音程的音高. 如: 若全长发出的音高为 C , 则以一半的弦长发声可得高八度的 C', 以 2/3 弦长可发出 G , 以 3/4 弦长可发出 F , 以 4/5 弦长可发出 E , 以 8/9 弦长可发出 D , etc... ( 理由後面会解释 ) ( 他们会做这样的研究, 除了实际的经验以外, 也是有其背景的. 因为他们抱持着数的神秘主义, 认为 "every thing is number", 而甚至赋予各种数字不同的哲学意味. ) 自此之後, 详细的发展源流或许不可考证, 但最後人们得到的一个结论是: 完美音程的构成仰赖於简单的整数比例. 若以简单的整数比例来定音律, 则音乐的和声是美好而悦耳的. 关於这点我们也可以有较为积极的解释: 若是两个声波之间有简单的整数倍比例, 如二比三, 则以六个单位的时间观之, 亦可得一周期函数. 再者, 两者相叠产生之干涉波 (听起来就是所谓的啪音吧) 亦与原来的频率成整数比. 详细写的话, 我们引入两个物理上与数学上的知识: 1. 连续函数可以写成三角函数的级数和 2. 所有声波都是周期函数. 则声波的叠合可以被简化成下面这个例子: cos(k1x-w1t)+cos(k2x+w2t) = 2 cos[1/2*(k1+k2)x-1/2*(w1+w2)t] cos[1/2*(k1-k2)x-1/2*(w1-w2)t] 由此可知, 两声波干涉所产生的波动频率为原本两者之平均, 而振幅以两者频率差的一半变化. ( 所以啪音听起来都嗡嗡嗡的... 嗡的越慢表示频率差越小. ) 若是比例很简单, 则和声的效果就会比较和谐 - 因为整个和声的感觉很单纯, 不会有太多奇奇怪怪频率的干涉波在里面. 以上是我们试图以物理与数学的角度解释何以整数频率比的和声较为美好. ( 也许最後问题会归於 "到底人脑子里面是怎麽听声音的?". 可是这个问题恐怕太难了些, 我是完全不知道答案的, 所以就请各位自由心证吧. ) 再回到音律的问题来. 以整数比来定音律的结果, 在十二平均律诞生之前, 音乐家们采用的纯律之频率比例如下: ( 在同一调性之中 ) Do : Re : Mi : Fa : Sol : La : Si : Do = 1 : 9/8 : 5/4 : 4/3 : 3/2 : 5/3 : 15/8 : 2 而值得注意的是, 一个八度的频率差为两倍. 这样的订定是很自然的, 因为 1:2 是两个不同音之间能有的最简单关系了. 仔细观察的话, 上面这一列之中所使用到的比例大多为分母很小的分数. ( 考虑通分後的分母为最小再配合一点其他的条件的话, 这列数字几乎可以被唯一确定. 各位不妨自己验证. ) 而相邻之音与音的比例: Do : Re = 1 : 9/8 Re : Mi = 1 : 10/9 Mi : Fa = 1 : 16/15 Fa : Sol= 1 : 9/8 Sol: La = 1 : 10/9 La : Si = 1 : 9/8 Si : Do = 1 : 16/15 不出 9/8, 10/9, 16/15 三者. 不难发现, 此音律中诸比例之决定其实并非刻意, 而是在一些简单的比例的组合如 3/2, 4/3, 5/4 的组合之下所能自然的得出的. 如: (3/2)/(4/3) = 9/8 (4/3)*(5/4) = 5/3 (5/3)/(3/2) = 10/9 (4/3)/(5/4) = 16/15 因此在远古文明的弦乐器上, 此音阶的产生即十分的自然. 只要看着弦长度大约某个分数长的位置按着然後演奏, 就可以自然的产生所想要的音程, 而一些简单而容易奏出的音程自然渐渐的演变成音阶的形式. 而即使在今日, 弦乐器上最自然的调性仍是以此律产生. 然而在此音律之下音乐并无法自然的移调. 举例如下: 若 Do 的频率为 1 个单位, 则 Fa 的频率为 4/3 个单位; 若移调至以 Fa 为主音, 考虑此调下的 "La" , 则频率为 (4/3)*(5/3)=20/9 个单位. 也许你会说: 从 Fa 开始算的第六个音, 那就是高八度的 Re 嘛. 可是高八度的 Re 频率应该是 2*(9/8)=9/4 个单位, 而 20/9=2*(10/9) 在原本的音阶中找不到. 因此为了使移调能顺利的完成, 一个完整的音律系统必须再囊括入所有移调产生的不同频率. 有兴趣的人可以检查一下: 一次移到属音的移调要多引入三个频率, 而反覆进行此步骤十一次, 可得共需引入 11*3 = 33 个频率. 而加上原本音阶中的 7 个, 也就是一个完整的八度之间被引用的频率有 7+33=40 个之多. 此移调的困难同时困扰着东西方的音乐家. ( 以下这段中国的律制, 恰好手边有资料, 所以写的详细了一点. 没兴趣的可以自行跳过 ) 在古代的中国, 最重要的音律制度为律吕. 律吕有十二个音, 六阴六阳, 阳为律, 阴为吕, 故称律吕, 所以称为律吕, 这十二个律管是所有中国音阶的基本. 用不同的管长来规定各音的音高. 最长的管名黄钟, 长九寸, 用三分损益法生其余各管, 即, 第二管比第一管短三分之一 (六寸), 第三管比第二管长三分之一 (八寸), 如此损、益、损、益直至第十三管. 若是如此造出的第十三管恰好是第一管的二分之一, 造出黄钟的八度音, 半黄钟来, 那是非常理想的一件事. 不幸不是如此. ( 中国人只重实际却不懂无理数的道理就得吃这种闷亏. |Q 往下看还有更白痴的. ) ( 从某种角度来说中国从来没有真正的科学. |QQ ) 其余管长按长短排好, 各音程也不等长. 因此, 各管不可能都拿来做音阶的主管. 虽然多少世纪以来, 中国的音乐理论家都绞尽脑汁的想达到这个 "旋相为宫" 的最终目标. 但三生损益法的第十三管既然比半黄钟稍高一些, 於是汉朝京房继续三生损益法到六十律. 六朝宋钱乐之觉得京房所以继续追寻的缘故, 是因为第十三管不是半黄钟, 不能指鹿为马. 现在弄到十八管离半黄钟近了一些, 鹿变成驴了, 但仍不能指驴为马. 於是又继续三生损益的一直到三百六十律. 离真正的半黄钟近多了, 驴也长得像骡子了, 但还是不能指骡为马... 从十二律算到六十律, 再算到三百六十律, 始终得不到二分之一的管长. 从现在数学的角度来看, ( 唉... 别说现在, 几千年前的希腊人也知道啊... ) 我们很清楚用三分损益的方法永远得不到二分支一管长的八度音. 一直到 1596 AD 的时候, 明世子朱载堉才解决了这个谜, 发明了十二平均律, 将八度等分成十二个相等的音程. 这就是欧洲的十二平均律. 中国的发明者比欧洲的发明者 Marsenne 早了四十多年, 但是个人以为这实在没什麽好阿Ｑ的..... ok, 讲了半天, 到底什麽是十二平均律呢? 十二平均律就是把一个八度分成十二等分, 每一等分之间相差一个相等的比例. 由中学的数学我们知道这样就是一个等比级数, 首项 1 , 第十三项为 2 , 故比例为 2^(1/12), 即二的十二次根. 如此一来, 则不论以哪个音为主, 其他音的角色都是相同的, 都是 1:2^(1/12) 一直叠上去. 至此转调的问题得以解决, 如钢琴之类的键盘乐器也得以问世. 因为: 原本一个八度中间要塞四十个频率, 根本难以做成容易操作的乐器, 现在只要十二个就够了. 不过, 从定义可以看的出来, 这些指数次方的频率比似乎跟我们一开始的经验不太和... 不是说音律要定成整数比和声才会完美吗? 可是二的非整数有理数次方是不可能为有理数的, ( 比如说根号二 ) 那又怎麽谈 "整数比" 呢? 所以我们来看看这个十二平均律跟纯律差多少. 首先, 八度音是十二平均律的基础, 所以两种律制下的八度音都是一样的. 再来看看纯律的完全五度 3/2 = 1.5 , 用十二半音来算这是从 Do 出发之後所遇到的第 7 个半音, 而 2^(7/12) = 1.4983071... 各位注意到了吗? 後者其实很接近 3/2 , 以至於只有很小的差距, 然而平均律的五度还是比纯律的完全五度低了一点. 而在十二平均律下和声依赖的就是这种不是那麽完美的比例做近似. 类似的作法, 我们可以得到底下的对应关系: Re: 9/8 = 1.125 <-> 2^(2/12) = 1.1224620... Mi: 10/9 = 1.25 <-> 2^(4/12) = 1.2599210... Fa: 4/3 = 1.33.. <-> 2^(5/12) = 1.3348398... Sol: 3/2 = 1.5 <-> 2^(7/12) = 1.4983071... La: 5/3 = 1.66.. <-> 2^(9/12) = 1.6817928... Si: 15/8 = 1.875 <-> 2^(11/12) = 1.8877486... 注意到了吗? 有些音其实两种律制差的可不少喔. 这是直接以频率来看, 但相对的误差在这麽多小数位数下毕竟很难直接看出来. 如果希望有个像调音器一样可以算出相差的百分比的方法, 可以用以下的式子: e = log(r)/log(2)*12 ( 以 2^(1/12) 为底取对数 ) 其中 r 就是这个音在纯律之中的比例. 比如说以 r = 3/2 代入, 则: e = log(3/2)/log(2)*12 = 7.0195500.. ~ 7 + 1.96% 由此我们可以知道完全五度的频率(3/2)在十二平均律下是相差 7 个半音 再多约百分之二. 若是我们已经有一个准确的 Do 当基准音, 则为了求得完全五度的 Sol , 我们可以先奏出十二平均下准确的 Sol , 再微微升高约百分之二. 底下把一些有用处的比例计算如下: (依分母分子大小排列) 3/2 -> 7.01955 ~> Sol+ 1.96% 4/3 -> 4.98045 ~> Fa - 1.96% 5/4 -> 3.86314 ~> Mi - 13.69% 7/4 -> 9.68826 ~> #La - 31.18% (很低, 可是出现在铜管乐器的泛音列中) 6/5 -> 3.15641 ~> #Re + 15.64% 7/5 -> 5.82512 ~> #Fa - 17.49% 8/5 -> 8.13686 ~> #Sol+ 13.68% 9/5 -> 10.17596 ~> #La + 17.60% 9/8 -> 2.03910 ~> Re + 3.91% 15/8 -> 10.88269 ~> Si - 11.73% 16/15 -> 1.11731 ~> #Do + 11.73% 45/32 -> 5.90224 ~> #Fa - 9.77% 表中所列的比例在演奏和声的时候都是可以参考的修正指标. 甚至是其中低的很夸张的那个 7/4 , 在演奏属七和弦的时候也会用到. 以上是有关律制的部份. 接下来则是有关如何应用在乐器的演奏. 管乐器的发生原理, 是利用簧片或者嘴唇的振动, 产生乐器内空气柱的振动, 然後经共鸣产生乐音. 在同一管长的乐器内, 所有能共鸣的波长为此管长的整数分之一倍. 若为开管原理发音之乐器则为 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 若为闭管原理发音之乐器则为 1, 1/3, 1/5, 1/7, ... ( 以上开管与闭管之差异详见高中物理课本 ) ( 管乐团中以闭管原理发声的乐器只有竖笛 ) 以前者而言, 每只乐器的管长振动的音, 我们称之为基音, 而往上以 1/2 管长振动的我们称为第一泛音, 以 1/3 管长振动的为第二泛音, 依此类推. 而相对应的频率则以 2 倍、3 倍、... 增加. ( 由此可以看出管乐器上有自然的纯律音律可寻 ) 以铜管乐器而言, 在完全不按键也不拉滑管的情况下, 所能演奏的音高彼此之间即约以 1:2:3:4:... 之比例增加. 不过乐器在设计时或许有经过制造者的调整, 可以改变某些泛音层的音高, 这需要由演奏者自行尝试与检查. 而以铜管的按键乐器而言, 通常第二键会降低约半音的音高, 第一键降全音, 第三键则降约三个半音, 但很少单独使用. 然而此种以增加管长来改变音高的设计, 由於音程的距离是以比例来计算, 如果降半音与降全音的第二第一键是准的, 两者同按就会不准. 同样的情形也发生在其他的组合上. 因此以铜管演奏者而言, 不准的情形实在很多也很复杂. 要演奏出准确的音高, 每个音都应该与以尝试并找出准确的修正方式. 但由於每把乐器的结构都不见得是完美的, 所以实际上可能会高会低还得经由经验来确认, 在这里就只告诉各位有这种现象, 往後该怎麽做就看个人啦. ok, 现在假定大家都知道怎麽把音调成跟调音器一样准确了. 那我们如何判定在演奏和弦之时该如何调整自己的音高呢? 此时可以照演奏的调性与和弦, 找出自己在和弦中的比例, 再予以修正. 举例而言: 大三合弦 Do:Mi:Sol 的比例为 4:5:6 , 故若以演奏 Do 的人为准, 演奏 Mi 的人所该吹奏的频率为 5/4 倍, 经刚才的计算得到应该低 13.69% , 而这就是完美的大三和弦所需要的音准. 举更夸张的例子的话, 属七和弦的 4:5:6:7, 演奏 7 的人得吹的很低, 低 31.18% , 才能得出完美的和弦. 当然, 你可以说, 算这麽多干嘛? ( 其实用电脑算, 一转眼就是一个 table, 也不用花什麽力气... ) 为什麽不用耳朵就好? 事实上, 这样说是对的, 音乐毕竟是听觉的艺术. 耳朵听起来好听才是唯一的重点. 什麽毕达哥拉斯学派的什麽整数比例假设都不如耳朵听来的直接. 然而除了人类天生听觉的天赋, 我想偶尔附加一点乐理的知识也是好的. 而且, 我相信这种涉及学理上的计算的东西, 以大学生来理解应该是很容易的事情, 至少绝对可以比从小学音乐的人还理解的透彻. 与其听学音乐的人知其然而不之所以然的告诉你结果, (简称"唬烂") 还不如以自己所具有的知识与能力来追根究底. 当然, 最後还是得强调一点: 如果你觉得这样的原理对你而言一点都不亲切, 那就别管它. 知其然而不之所以然毕竟不是我们的目的. 如果觉得不想理解这种东西, 那就把它丢在一旁, 相信自己的耳朵吧. 不过, 如果你说: 吹乐器的时候哪能想那麽多, 哪有办法这麽仔细? 那我只能告诉你: 不管是依靠耳朵或者经验或者知识, 确实是需要想这麽多. 能做到多少是一回事, 可是真正专业的演奏者是不会忽略这种细节的. 最後声明一下, 以上内容多半都是没有查资料的平日心得, 以音乐学的角度也许不怎麽入流, 甚至还错误百出, 我想也是难免. 写这篇的目的主要也只是希望多少让团里没看过的人看一下有这样的东西. 若是有写错的地方还希望各位不吝指证. 毕竟我个人写错事小, 误导了别人可是事大. --

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