※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 混沌的本质特徵与混沌概念的界定(1) 时间: Mon Oct 18 05:02:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 混沌的本质特徵与混沌概念的界定(1) 时间: Sat Oct 16 23:32:01 2004 混沌的本质特徵与混沌概念的界定 张本祥、孙博文 混沌理论是非线性科学的核心部分，它的理论及应用价值很大，但是迄今为止，对混沌概 念还没有公认的严格的定义，我们认为，对混沌概念的界定应从混沌现象的本质特徵入手 ，从数学和物理两个层次上考察，才有可能得出正确的完整的结论，本文将从运动学角度 讨论混沌的本质特徵——有界、非周期和敏感初条件，并籍此尝试对混沌概念的界定。 一、从混沌的Li-Yorke定义看数学混沌的本质特徵 现代科学意义上的混沌是个难以精确定义的概念，不同领域的科学家往往对其做出不同的 定义。1975年李天岩(Tianyan-Li)和约克(Yorke)给出了混沌的一个数学定义，这也是第 一次赋予混沌这个词以严格的科学意义，混沌的李-约克定义如下： 设连续自映射f：I→I（ R，I是R中的一个闭区间，如果存在不可数集合S（I满足 (1)S不包含周期点。 (2)任给X1，X2 属於 S (Xl≠X2)有 t t lim sup│f (X1)－f (X2)│> 0 t->∞ t t lim inf│f (X1)－f (X2)│= 0 t->∞ t 这里 f (˙) = f(f(˙˙˙f(˙)))，表示t重函数关系 （3）任给X1属於S及f的任意周期点P属於I有 t t lim sup│f (X1)－f (P)│> 0 t->∞ 则称f在s上是混沌的[1]。 由李-约克的定义可见，他们是用三个方面的本质特徵来对混沌进行刻划的： (一)非周期 在李-约克对混沌映射的定义中，称f在S上是混沌的，所依据的三个条件中的两条是 对非周期的刻划：第(1)条表明混沌轨道排除了所有阶的周期点，第(3)条意味着混沌轨道 与任意的周期轨道都不具有渐近关系，而是原则上可区分的。它们实际上是从周期性角度 对非周期性进行的刻划。我们可以这样来理解混沌轨道的非周期性：如果我们在无限精确 的数学层次上跟踪一条混沌轨道，我们经历的相点永远没有重复的，而且整条混沌轨道虽 然在任意有限长的一段可能与某条周期轨道无限接近，但是无限长的整条混沌轨道将与其 产生有限大小的偏离，即在t→∞时，任意的混沌轨道与任意的周期轨道必然具有距离有 限(非无限小)的相点。这样当我们要确定某个混沌轨道上的相点时，只能跟踪轨道的全过 程，而不可能利用任何具周期意义的、有可压缩性质的所谓规律来准确预测。 (二)敏感初条件 李-约克定义中的第(2)条实际上就是对混沌轨道所具有的"敏感初条件"的描述，即距 离的下确界为0的无限接近的两条轨道，其上确界却是有限的，大於0的，由符号动力学对 一维抛物线满映射的刻划，[2]我们也可以看到，分别代表两条混沌轨道的两个无限接近 的符号序列，即两个无限精确条件下才可区分的无理数，意味着在无限次叠代後，最後会 有宏观层次上(对主体而言)的可区分的差别：L(左)、C(中)、R(右)，相点的L、C、R是在 有限精确条件下，对主体来说的可区分性。就是说，在1／2^n的解析度下，差值大於 1／2^n的两个初值，经n次叠代後，其符号序列中至少会有一个符号不同，进一步地，李- 约克的定义也表明混沌轨道中的相点与无理数对应，无理数的最後(实际上不存在最後)数 位不同，就是不同的数，但这两个"最後"数位不同的无理数代表了无限精确的情况，反映 的是个无限过程，在这个无限过程下，数学上的混沌具有对初始条件的敏感依赖性。 (三)有界 在李-约克定义中，"有界"(即有确定的边界)是作为定义的前提条件出现的，它设定了f是 从I到 (I（ R)的映射，而I是R中的一个闭区间，这表明f把I映射回I，所有的相点不能超 越I的确定边界，这个"有界"的前提条件的设定是必要的，如果没有这个限制条件，就不 能保证系统是混沌的，例如：映射f：Xn+1＝f(Xn)＝Xn2，当X1＞1时，f会很快使Xn超越I 的边界而趋於∞，这时Xn的整个序列或说轨道X1，X2，…Xn，…X∞显然仍具有非周期、 敏感初条件等混沌的本质特徵，但是它的演化过程是发散的，不会形成混沌吸引子。可见 ，"有界"是混沌的不可或缺的必要条件和本质特徵之一。 --

※ 发信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 218.167.228.139 -- 在细雨的午後 书页里悉哩哩地传来 " 周期3 = ? " 然而我知道 当我正在日耳曼深处的黑森林 继续发掘海森堡未曾做过的梦时 康德的诺言早已远离......... 远来的传教士静静地看着山涧不断反覆叠代自己的 过去 现在 和 未来 於是仅以 一颗量子浑沌 一本符号动力学 祝那发生在周一下午的新生 --

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