作者tsubasa30021 (murasaki)
看板NTUMath99
标题[情报] 王金龙教授语录 [2011 Spring Calculus][2011/5/11 update]
时间Thu May 12 00:02:09 2011
1.
如果你的一生中，
还有比数学更重要的事的话，
我建议你可以退选，
并且想想你是否进错系了。
没有这种态度的你绝对是过不了这门课的。
section{The Fundamental Idea of the Integral and Differential Calculus}
2.
代数:给我一点"符号"的感觉.
几何:给我一点"图形"的感觉.
分析:给我一点"极限"的感觉.
3.
就像学代数一定会辗转相除法.
学几何一定会毕氏定理.
学分析你一定要会均匀连续.
section{The Techniques of Calculus}
4.
你们有个学长10岁就在学微积分，
不过10岁也四年级了，
已经学英文，
基本上微积分会打顿号就会了。
5.
我们的课本真好，没有大大的公式表。
准备期中考的话，
看看别系厚厚的微积分课本翻开的公式表，
如果任何出现在里面的式子两分钟你证不出来，
那你的麻烦就大了...
6.
二十年後，或许微积分你都忘了，
突然想到以前有念过，
便拿起一张纸，随便写写推推，
把今天的双曲函数、反双曲函数的证明，
轻轻松松地写了出来。
我认为数学系最基本的能力该是这样子的。
7.
如果你想说等一下我有两个小时来写微积分习题，
你还是去打篮球好了。
两个小时只能开机，
不从吃完晚餐就觉悟拼到十二点的话是写不出来的。
8.
这样写看起来不太错，但不对。
而且引发一个耐人寻味的问题。
你要我给你几分?
9.
我再多写一行，
证明我没乱讲。
10.
处理代数有三套很棒的软体，
Mathematica、Matlab、Maple，
输入一个式子，
它就能马上给出积分，
我对你们的要求，
差不多就是这样。
11.
积分会做比较重要，
而不是要快，
我相信不管你再快，
也没有mathematica快。
12.
得到比较复杂的结果是好的，
如果你这麽相信的话，
那就是发生好事。
13.
你不觉得这些都比高中数学简单吗?
你们愉快、
我也愉快、
大家都愉快。
14.
现在做的积分代换，
就跟在做10进位一样，
你小学就会了。
15.
一个人若不能在黑板上画一个圆，
那就不能当几何老师。
16.
对一个只会加减乘除的人来说，
三角函数是一个很不好的函数。
17.
世界上很多东西都是做不出来的，
你能做出来的都是你运气好。
18.
像建构式数学，
就蛮符合我们的课程的，
你不能背，
但要算得很快。
19.
我们的课本水准太高，
习题一题计算都没有。
20.
期中考不会比小考难，
但也不会比小考简单。
21.
如果你不会连锁律严谨的证明，
微积分基本定理无法清楚说明，
而考试却让你过了，
你该来跟我说:
「老师，
我不应该过的。
请把我当掉。」
22.
我要确定的只是你会作。
23.
二次式是三角代换，
一次式就随便乱换。
24.
我从来就不相信书上写的，
去想想看，
如果不这样做会怎样。
25.
你写对但我改错了，
你可以找我要分数；
你写错了但我改对，
你可以不要告诉我。
26.
如果，
这是你一生中，
第一次看到 Gamma function，
我只能跟你说，
你以後会一直看到他。
27.
这个函数unbounded，
就像人发了疯一样。
28.
一个函数连续，
我比你更连续，
就是绝对连续。
29.
我的原则是不加分，
而且出一题很难的，
预防太多人100分。
30.
第一个不要太担心，
第二个不要太超过。
31.
要做数学家的话，
要将快乐建立在自己的痛苦上。
32.
听不懂?
物里怎麽可能听不懂?
你的不懂跟他的懂应该是一回事。
33.
教高中的资优生，
你又不能教他太理论的，
只好教很多障碍的，
像玩超级玛利。
section{Applications in Physics and Geometry}
34.
我必须同意这不是一份简单的考卷，
如果你能考八十分，
你应该感到非常骄傲，
因为我也只能考九十几分。
35.
我希望你学完我的微积分之後，
学高等微积分之时会如鱼得水。
36.
期中考前你这样做我会问你为什麽，
期中考後你这样做我不会问，
但若我问你，你还是要知道为什麽。
37.
看着麦克乔丹最後一节可以追十几分，
我就觉得不管题目再难也做得下去了。
38.
别看到天才就害怕，
天才也是会不行的。
39.
所有都是要想的，
如果你不会证明，
那就与做错一样，
唯有如此，
才能超越。
40.
到底有没有写错，
我真痛恨我自己。
41.
讲了半天就为了讲物理，
真没意思。
section{Taylor's Expansion}
42.
欢迎来到微积分最精采的一章:
泰勒展开式。
43.
我们接下来要做的事很简单，
我给你一个数，
告诉我是多少。
44.
读数学系都很自闭，
只是程度强弱而已。
45.
泰勒是牛顿的学生，
这告诉我们，
跟对老师很重要。
46.
千万别去算，
除非你的速度跟高斯一样快。
47.
为什麽得证给你看，
因为他真的有点难。
48.
做数学最重要的是，
处理看起来很简单，
改变一下，
竟然就不会了的问题。
49.
若你把泰勒展开式写到无穷项，
这证明了你没来上课。
50.
这个函数就是扶不起的阿斗，
虽然最後还是起来了。
51.
你们的物理化学实验，
都会做一堆资料数据，
然後画条线穿过所有，
幻想那就是那个公式。
section{Numerical Methods}
52.
Chinese Remainder Theorem
中国唯一剩余的定理
53.
这真的是很无聊，
你不能勉强我算。
54.
如果只是很无聊单纯的推广，
那就不可能留人名在上面了。
55.
所有的数值方法，
绝对不是人算的。
56.
我从来没有做过误差估计。
57.
我的数学是不是真的有问题啊...
58.
如果你有一台可以加减乘除的计算机，
再加上我们所学的，
你就已经是工程计算机了。
59.
我最喜欢的数学，
就是不要有任何虚假的条件，
写出来，
然後解决它。
60.
上课最讨厌的就是一定要讲对的事，
其实写错的东西很多时候很好玩的。
section{Infinite Sums and Products}
61.
怎麽两个礼拜考一次，
平均又回归8分，
真的有这麽难吗?
62.
如果你一直逃避证明，
这样也是可以，
只是不能学数学。
63.
我希望这个例子可以给你勇气，
在考得很糟的心情下，
仍能继续学习第七章。
64.
这应该很单纯的，
有没有人要上来救我。
65.
不用太沮丧，
就算是你的老师，
没有准备也算很久。
66.
你要先知道怎麽想，
再去想怎麽做。
67.
数学就是这样，
有一点辛苦，
久了就习惯了。
68.
顺便提醒你们，
明天，
是退选的最後一天。
69.
我最近去高中演讲，
听说你们都没考证明题，
这让我很震惊。
70.
我要证明一个好几百万倍的定理，
虽然几百万倍显然是不够的。
71.
微积分就是会做加减乘除与极限。
72.
我是讲好玩的，
你们听听就好。
73.
若你的亲朋好友弟妹亲戚，
有点数学天分的话，
建议他国三就开始学微积分。
section{Trigonometric Series}
74.
什麽，线性代数星期五期中考?
早知道我们今天就期末考。
75.
我们人类，
会作加减乘除，
喜欢泰勒展开式。
大自然，
则喜欢傅立叶级数。
76.
如果你是做实验，
会喜欢Interpolation;
如果你去作估计，
则喜欢Taylor's Expansion;
那麽大自然呢?
它喜欢Fourien Series。
77.
伟大的科学家们，
都喜欢做一件事:
我来定一个新的函数。
78.
Superposition，
读起来好像很有学问，
其实就只是加法罢了。
79.
1是我第二喜欢的函数，
最喜欢的是0。
80.
有什麽差别?
差、很、大。
81.
如果你们不是数学系，
到这边就可以下课了，
可惜这件事没有发生。
82.
如果你会把三角形的内心重心，
写成两边的线性组合，
你已经跟傅立叶一样伟大了。
83.
其实人生都是有限的，
所以不连续点也应该是有限的。
84.
如果不是身为数学人，
我们已经证明完了。
85.
我们数学记的名字，
好像不会比历史少。
86.
微积分最重要的就是均值定理。
87.
近瞧函数就是泰勒展开式，
远观函数就是傅立叶展开。
88.
这样代入，
只为了一项的快乐，
而造成无限多项的痛苦。
89.
你们一定有看过一些科普的书，
就是骗人来读数学的书。
90.
反正都不要想，
就可以证出来了。
91.
其实这都没有什麽，
不过是加一加、减一减、乘一乘、除一除。
92.
通常我看到这些伟大的证明，
就会觉得怎麽不是自己想出来的，
所以我很生气。
93.
这个问题，
你就想像自己是低等生物，
像变形虫那类的，
要爬满这块面积。
94.
我的朋友常常跟我说:
你们数学家不要一直说trivial.
95.
其实trivial的意思不是什麽无聊的，
而是书上就有写了，
自己回去读个十天就会懂了。
96.
为了让你感觉这个定理有多了不起，
我先不要证明。
97.
用力地把泰勒展开式展到可怕多项，
就可以得到可怕小的误差。
98.
人就是要有一种坚持，
即使知道是死路，
也要拼命去死，
再活过来。
99.
n有什麽可爱的呢?
就是n可以很大。
100.
你要知道，
数学家想事情，
绝对都不是乱想的，
数学家想的东西，
都有很深刻的意义。
101.
核(kernal)这个字很深奥，
是用来写诗用的。
102.
做任何事情都一样，
就是把它变成积分。
103.
做为「距离」这个观念，
一定要有三角不等式。
104.
当你说有一个内积空间，
基本上就是说这麽空间可以用毕氏定理。
105.
三角不等式，
与柯西不等式，
其实是相同的。
106.
「代数」这句话，
就是不要代任何数。
107.
在数学里，
你必须要能很抽象地想事情，
很实际地计算。
108.
知是很容易的，
行是很困难的。
109.
我要告诉你的是，
我们从头到尾都没有做任何事，
如果你做了什麽，
那你一定做错了。
110.
任何一件简单的事情，
都是一个定理。
111.
数学最喜欢做的事，
就是说一句话，
然後写成英文。
112.
这个定理告诉我们，
它的灵魂，
是一定收敛的，
即使实体已不复存在。
section{Function of Several Variables and Their Derivative}
113.
你们都念大学一个学期了，
还需要人鞭策吗?
114.
基本上，
读我们的课本，
你应该要有读英文小说的感觉才对。
115.
我这两张图很不consistent，
假装没看到好了。
116.
虽然这个真的超级简单，
但我还是证一下好了，
因为今天是第一堂课。
117.
工程上常常把分量写出来，
数学上常常把分量藏起来，
这是因为工程重视实际，
而数学讲究概念。
118.
有人很圆融，
有人很方正，
就像有人喜欢epsilon-ball，
有人喜欢epsilon-cube一样。
119.
我不只不属於你，
而且跟你有距离，
这就是exterior point。
120.
你可以慢慢强迫自己使用符号，
忘记中文与英文。
121.
微积分最重要的是取极限，
取极限最糟糕的就是取完就跑掉了。
122.
用逻辑，
一步一步推导它。
123.
当好学生的方法，
就是明明知道我在玩什麽把戏，
还是配合我故意说出错的答案。
124.
所有的直觉都是错的，
除非你能证明它。
125.
画双变数函数的图形，
完全靠你的艺术天分，
你要多多练习，
如果你有志於把图画的很好。
126.
做事情就是这样，
我没有办法，
就用我会的办法。
127.
记号是最重要的，
请一定要写清楚。
128.
delta与laplace有什麽区别?
delta是等腰三角形，
laplace是正三角形。
129.
你只要是第一次把二次偏微分加起来的人，
两百年後还是有人记得你。
130.
为什麽我一辈子都没发现这麽麻烦。
131.
做错的其实是最好的，
对的可以自己回家看。
132.
你说的完全对，
但完全对不一定有分数。
133.
当你看到y=Ax，
感觉跟y=ax一样轻松，
那你已经昇华，
线性代数学好了。
134.
你觉得你很会，
虽然我不知道你会什麽。
135.
虽然很简单，
但很讨厌。
136.
一个函数可以微分的意思，
就是可以用线性代数处理它。
137.
其实念台大数学系是一件很了不起的事，
你现在还敢坐在这里，
我已经很佩服你了。
138.
大学，
就是要做一些了不起的事。
139.
你要知道什麽时候可以，
什麽时候不行。
140.
我要的不是感觉，
我要的是你把它写出来。
141.
我们这个课，
扣掉证明其实没剩下什麽。
142.
如果所有东西微分後都连续，
那世界就会很和平。
143.
这个证明，
说实在的很无聊。
144.
你只要把事情写得很抽象，
几个变数都没关系了。
145.
如果不追求完美的严格，
那就已经作完了。
146.
并不是只有你不喜欢作，
我也不喜欢，
但很不幸，
我们必须要作。
147.
Total differential，
就是不要漏掉任何一个偏微分。
148.
这完全不对称，
叫人家怎麽记。
149.
这个公式要很好用，
要有一个条件，
就是不要有那麽多项。
150.
这个方程式非常好，
如果要解就非常差。
151.
所有的东西，
都来自微分的定义。
152.
向量与向量内积，
很公道不是吗?
153.
哇，
开始很会猜了。
154.
如果这个观念，
你在期中考写错，
我会很痛苦。
155.
这个h不能写太上面，
不然会变成普朗克常数。
156.
微分算子，
就是一个线性变换。
157.
如果你不相信的话，
我作一遍给你看，
但想你们都会相信的。
158.
多变数函数的图形，
非常难画，
我想大家都会同意。
159.
这个应该「大家」都会，
如果你还不属於「大家」，
请自己想办法。
160.
多变数的泰勒展开，
与单变数只有一个差别，
就是手要写快一点。
161.
一个人到40岁，
想作的都不能作，
想吃的都不能吃了。
162.
我非常後悔上次讲了保角变换。
163.
Trivial
= High School Math
= Very Hard
164.
你们进到台大数学系，
应该还没看过这样trivial的数学吧。
有没有很亲切的感觉?
165.
你会来数学系，
一定是很有想像力，
才能坐在这里，
虽然已经派不上用场。
167.
虽然你们现在学微积分、线性代数，
是所有数学中最容易的，
但理论上这两项就能作全部的事了。
168.
别写M好了，
看起来好像很大。
169.
像那些甚麽积分技巧，
说雕虫小技还太好听，
应该说是trivial。
170.
反正，
所有的定理，
都是证出来的。
171.
多变数的原则，
就是给不认识的人一个名字。
172.
这样写，
虽然很可笑，
但没什麽不好。
173.
只要是背的，
就一定是错的。
174.
真正的定理，
只有一个。
175.
如果你是一个博士，
那应该像我一样，
走上讲台，
享受挂版的危机。
176.
我觉得大学生从事的任何活动，
都应该要与学术有关。
177.
当我写三个变数的时候，
就代表写一百个也可以。
178.
为什麽不写两个变数，
因为那太简单。
179.
讲到现在的事情都是trivial，
就是有讲跟没讲一样。
180.
算不要乱算，
用不要乱用。
181.
我们讲物理，
只是要多一点例子。
182.
记得教你们的第一天，
知道你麽没用过这些符号，
我很惶恐，
不知道不用这些符号还能说什麽。
183.
数学的要点，
在於精确地使用符号。
184.
数学是一个很奇怪的学问，
喜欢把东西写得少少的，
好像很简单。
185.
仔细看你就会发现，
L与Γ是相反的。
186.
你现在还是一张白纸，
不过当你愈学愈久，
就要问自己，
还有甚麽没证完吗?
187.
虽然是line integral，
但其实是对oriented curve积分。
188.
到现在你应该只有两种情况，
一种你已经接受任何不严格的符号，
一种你已经觉得一切都太奇怪了。
189.
念数学系最重要的事情，
就是不可以有一件事是用背的。
190.
你只要知道面积的性质，
就会发现行列式。
191.
数学抽象化的原因，
就是我们想让一切看起来，
就像算术一样简单，
也就是笨蛋也可以算。
192.
写得很抽象，
那就不会错。
193.
当我写下Theorem，
就是有大事要发生了。
194.
随随便便的事情就能称为定理吗?
195.
我刚花了一个小时，
讲了其实没讲也没关系的东西。
如果你也累了，
就把刚刚发生的事当作是梦。
196.
数学归纳法最难的部分，
就是你得要知道答案是什麽。
197.
不要在乎快快的还是慢慢地，
重点是连续的。
198.
我相信第一次看到这个很不习惯，
但这就是把东西写成数学的方法。
199.
我们这样走，
会撞到那不存在的点。
200.
只要定义清楚，
证明就会自动出现。
201.
一个lemma能挂上名字，
一定是大量的思想技术在里面。
202.
对了，
我们这堂课好像叫做微积分甲呢.
203.
今天这堂课，
不再考试范围内，
你们就当作在欣赏古典音乐就好。
204.
我最怕做的问题，
就是分数的加法。
205.
其实我小时候心算很强，
不知道为什麽现在不行了。
206.
如果会使用符号，
不写那些数字，
那数学就会看起来很舒服。
207.
线积分的L，
就是Lagrange。
208.
数学符号都是用得很谨慎的，
就像写诗要押韵一样。
209.
你要知道，
什麽是在一个小时就做得出来，
什麽是一天，
什麽是去图书馆借书研究一个礼拜。
210.
做事情与写数学很重要的，
就是要感觉出哪里是最难的。
211.
做数学最重要的，
就是把我们说的话翻译成数学。
212.
科学研究，
就是你好像把问题解决，
但还是有一个尾巴在捣乱。
213.
我敢保证，
大部分电脑科学的研究，
都没有比现在这个定理难，
这真的很难，
我想了十几分钟还是想不出来。
214.
反正只是微积分课，
不能太强人所难。
215.
念数学最大的缺点，
就是英文会变得很差。
216.
这些定义还是要有，
不然你连话都说不清楚。
217.
假设这里有无穷个点，
虽然我只画了有限个。
218.
我们写出来的任何东西，
都只有在某些意义之下是对的。
section{Developments and Applications of the Differential Calculus}
219.
严格的思考是很重要的。
220.
证明最困难的，
就是写出条件。
221.
很奇怪的是，
零减零也能做事。
222.
连续性很简单，
瞪一下就瞪出来了。
223.
推广到多变数，
就像word里面的find and replace一样简单。
224.
我很喜欢乱写符号，
因为我都记不得。
225.
不好的符号，
能确定你有好的了解。
226.
更高竿的方法，
就是不断地瞪着它。
227.
交了这个之後，
你们能写的作业就非常非常的多了。
228.
找任何一条曲线，
但其实一条都没找到。
229.
for all 其实一个都不行。
230.
都有一天，
你觉得这些都东西，
就只是这样而已，
那你就不一样了。
231.
这个函数的图形，
就像还没唱生日快乐歌之前，
不小心被压到的蛋糕。
232.
我们现在用的，
是数学猜测法。
233.
就想像成两个鸡蛋相交，
虽然这并不可能。
234.
习题中总是有很多奇怪的例子。
235.
千万不要以为隐函数能解出来就比较快。
236.
这个证明，
其实还蛮荒唐的。
237.
高中数学，
就是把石头搬上搬下搬左搬右，
大学数学，
则像是要制造万能必杀武器。
238.
数学就是这样，
清谈聊天，
吃点东西，
就证明出来了。
239.
curvilinear，
就是弯弯曲曲的linear。
240.
0其实是∞的缩写。
241.
如果你的分数有点高，
也就是超过60分，
没写locally，
我就会故意给你扣分。
242.
你不能因为我上课常常算错，
期中考就故意算错。
243.
考数学系的考试，
你得要有一个观念，
如果你只想写答案，
那就不要写了。
244.
如果都找不到的话，
存在，
就只是说说而已。
245.
我最喜欢的矩阵，
就是零矩阵与单位矩阵。
246.
所谓的未来，
就是不到一年的某个时候。
247.
这个函数，
大家可以想像成windows 7的开机画面。
248.
做数学很重要的，
就是要把俏皮话写成严格的算式。
section{Multiple Integrals}
249.
1-dimension的volume是length，
2-dimension的volume是area，
3-dimension的volume是volume，
4-dimension的volume是4-dimension的volume。
250.
限制越少，
有面积的机会就越少。
251.
它是没有长度，不是0。
252.
我花这麽多时间，
写这麽多很合理的东西，
就是要告诉你它们完全不合理。
253.
我们可以在这个Jordan的定义下，
走到很远很远，
远到现在所发展的所有物理与工学，
但这显然是不够的，
也就是为什麽你要学高等微积分。
254.
一定有集合，
在任何测度底下，
都是没有面积的。
人的智慧有限，
面积，
只是一种理想。
255.
我们永远只有两个问题，
一个是怎麽使用，
一个是怎麽证明。
256.
当你学会多变数微积分，
那你就跟18世纪的数学家一样厉害了。
257.
其实，
我们所做的一切，
都只是把微分、积分、极限换来换去而已。
258.
微分是极限的过程，
积分也是极限的过程，
极限也还是极限的过程。
259.
中国数学家很喜欢做的事，
就是每找出一些东西後，
就写一首诗挂在墙上，
每一句都很写意。
260.
我以前的老师画图很准，
我用看的就知道答案了，
这告诉我们图画准很重要。
261.
高斯学会把1加到100，
其实我们也会，
所以很显然我们都有高斯的能力。
262.
做数学常常就是先证明最简单的case，
然後说难的case其实很简单。
263.
你们要有一个习惯，
就是常常问自己问到满意。
264.
我们不会教那些做得很辛苦的题目，
只会教你怎麽做也做不出来的题目。
265.
这个东西不好解释，
所以我们不解释。
266.
如果你只是用想的，
这一切其实很trivial。
267.
不知到我以前是怎样写，
但我现在就是要这样写。
268.
把每个定理都当作定义，
那一切就太好太完美了。
269.
我喜欢这种可以中途一改再改的证明。
270.
下次看到[a,b]要很尊敬。
271.
千万不要相信物理学家所说很自然的事情。
272.
画图与人体解剖一样，
都只能用剖面图去了解。
273.
随意变换座标，
才是正确的态度。
274.
天下没有不可能的事情，
只有比较麻烦而已。
275.
当我们硬不讲微分几何，
硬要用微积分作就是这样。
276.
如果你写2个积分，
但它是一维的，
我会给你大错；
如果你写1个积分，
但它是二维的，
那我会假装你对。
277.
什麽都不写，
其实是最清楚的。
278.
这就是分析的威力。
279.
如果你喜欢这个证明，
那就有福了，
因为你未来的人生会不断看到它。
280.
人生就是如此，
不要想太多，
就不会有太多麻烦。
281.
我背公式的能力很差，
我觉得这样很好，
老了就不会记得这些困扰的事。
282.
如果你这样换变数，
我会很佩服你，
但我相信接下来20分钟你会很痛苦。
283.
如果你考试图画得很好，
我都可以帮你加分。
284.
你一但念了大二，
就不要想转系了。
285.
念数学的人有一个很大的问题，
就是以为英文不重要。
286.
联招的榜首，
对台大数学系一直都不是新鲜事。
287.
我们找工作，
甚至比清洁队还容易。
288.
我听说有的老师上得很随便，
不知道你们为什麽不去吵。
289.
选择题根本就不需要考，
四个选项东看西看，
总会有一个看起来比较像的。
290.
数学系是全世界最好找工作的科系，
而最好找的工作是大学教授，
你想想看台湾有多少大学?
291.
严格证明的意思，
就是引用一个大定理。
292.
了解一个公式，
就是把所有你想看的角度都看一次。
293.
这是一种看不到答案的答案。
294.
如果你能用一个很神奇的方法做出来，
他背後一定有数学的意义。
295.
你可以用这个去骗那些非本系的同学，
他们绝对算不出来。
296.
以前有一个节目是全民乱讲，
我们这个就叫大家乱算。
297.
你可以说c就是答案，
然後问题会变成c是多少。
298.
我只要讲一个例子，
你就知道他多厉害了。
299.
不会动的叫x，
会动的叫x(t)。
300.
这本书的後面不再这本书的上面。
301.
这个作法给有毅力的人，
如果比较懒惰的，
请参考以下作法。
302.
这好像是小学的智力测验。
\section{Relation Between Surface and Volume Integrals}
303.
这里的三个定理加起来，
总共一个。
304.
其实小学课本就可以讲微积分基本定理了。
305.
我们追求一个定理，
在所有的维度里都要看起来相同。
306.
既然这个定理这麽好用，
不妨就把它设成定义。
307.
法线的往内往外，
跟手机的网内网外是不一样的。
308.
会写成corollary，
就表示不太重要。
309.
老实算的好处，
就是绝对不会错。
310.
formula就是把定理乱带得到的。
311.
这个定理不是难在证明，
而是在它的内涵。
312.
它就是它的积分的微分。
313.
如果你觉得这不会很奇怪，
第一个是你完全清楚，
另一个是完全不清楚。
314.
为什麽我证完了，
却只有step1?
315.
大家想一下，
不要再猜了。
316.
要算面积的方法有无穷无尽。
317.
正常比较天然的问题，
都有无穷无尽的变数。
318.
希腊人那个时代，
就是整天在作辅助线。
319.
为什麽你们不需要上课就都知道了。
320.
你要幻想你在拍希腊数学电影，
他们会怎麽想。
321.
解这个问题相当於问台湾最好的总统，
你怎麽知道答案存不存在。
322.
数学家其实没什麽，
只要看着问题好好想一想。
323.
这证明实在是太trivial了，
发现的机率跟中乐透一样。
324.
你要要求自己，
每一题都能从头想出来。
325.
为设麽我们的生活都很平稳，
是因为这两个式子等於零。
326.
稍微想像这个计算的复杂程度，
你就能理解我为什麽不愿意在黑板算了。
327.
要是有一件事情都没想过，
那上课就讲不出来了。
328.
要不就是都很有说服力，
要不就是都没有。
329.
能把有意义的东西写成没有意义的才是重点。
330.
高阶语言是笨的人写的，
低阶语言是聪明人写的。
331.
如果你真得很小心，
那这个证明一定让你很不舒服。
332.
这是一个有三个洞的救生圈，
我们要把它切成三个救生圈。
333.
面对不可定向的曲面，
高斯就不知道该说什麽了。
334.
想一想之後要很自然地接受它。
335.
这个定义实在是不好，
但是你可以接受。
336.
我在讲下去，
就会出现可怕的字，
manifold，
阿，既然我讲了，
那就教一下吧。
337.
如果你跑去跟人家讲我们上课上这些，
可能不太好。
338.
函数如果够好，
空间就可以够差。
339.
等你学够多数学，
就知道作mapping很容易。
340.
这个东西厉害，
是因为它什麽都没有。
341.
任何巧妙，
都有精密在里面。
342.
因为我们都claim所有结果都能推到n维，
所以我跳过一些主题。
343.
以後你要记得，
在微积分课的时候，
就听过代数拓朴。
344.
这个定理，
你如果问我三度空间要怎麽类比，
我会叫你不要问我。
345.
天气炎热，
我最喜欢放暑假了。
346.
平面上的东西真的都很漂亮，
我们也对平面的问题都非常了解，
但是很不幸地，
我们住在三度空间。
347.
你只要再跨一小步，
就可以走进平面的美好世界。
348.
我的微积分老师就是杨维哲。
349.
密码学的老师人很好，
这样就可以专心考微积分了。
350.
如果人家的index写得很多，
你就比他在多写一个。
351.
有一天，
我一定会把这个讲清楚，
如果你还在的话。
352.
一个东西被d过，
再d一次就消失了。
353.
我们的目的，
是测量空间中有多少奇怪的东西。
354.
如果没有那推note，
我们只好吹牛了。
355.
我坐火车的时候，
最喜欢拿微积分4500题练习心算。
356.
你要在一般的情况下奖orientation，
显然两只手是不够的。
357.
如果求出来很正，
那就取它，
取它不是结婚的意思。
358.
处理函数，
就是我们的工作。
359.
虽然今天号称是复习，
但其实什麽都没复习到。
360.
有一天你都想通了，
再看一次[0,1]，
一定有很深的感触。
361.
当一个东西被决定了边界，
他就没有边界了。
362.
真的，
我再讲下去，
就揠苗助长得太厉害了。
363.
我不希望你是考不上物理系，
才坐在这里的，
但你若要学近代物理，
就一定要会很深的数学。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.240.173
※ 编辑: tsubasa30021 来自: 140.112.240.173 (05/12 00:06)
※ 编辑: tsubasa30021 来自: 140.112.240.173 (05/12 00:07)
※ 编辑: tsubasa30021 来自: 140.112.240.173 (05/12 00:08)
1F：推 t0444564:帅! 05/12 02:50
2F：→ studentkuo:推 05/12 21:15
3F：推 CKLee:补充好多啊.. 05/16 18:58
※ 编辑: tsubasa30021 来自: 140.112.240.173 (06/02 23:52)
※ 编辑: tsubasa30021 来自: 140.112.240.173 (06/02 23:53)
4F：推 FollowJesus:好棒啊!!! 07/23 20:42
※ 编辑: tsubasa30021 来自: 122.123.217.239 (08/13 19:27)