※ 引述《shrek0665 (减肥)》之铭言： : 我不知道po在这个版对不对 : 恩 : 不管啦 : 哪位帮忙一下 : 求 : (x^3+2x^2+3x-2)/(x^2+2x+2)^2 : 对x的积分 : 过程也好 : 方法也行 : 但是 : 麻烦用验证过後可行的 : 我已经卡了n久了... 我试着解了此题，并将计算过程附上，没空一行表示是同一个式子，过程有点冗长， 最好可以把我的算式用你习惯的写法先写在纸上会比较好理解 如果有错误请指正 共勉之 --------------------------------- 先用分部积分(公式:udv=uv-vdu) 把udv设为 ∫[1/(x^2+1)]dx 可得: ∫[1/(x^2+1)]dx = x[1/(x^2+1)] - ∫xd[1/(x^2+1)] ∫[1/(x^2+1)]dx = [x/(x^2+2x+2)] - ∫x{-[(2x/(x^2+1)^2]}dx ∫[1/(x^2+1)]dx = [x/(x^2+2x+2)] + ∫[(2x^2)/(x^2+1)^2]dx 将右式第二项∫[(2x^2)/(x^2+1)^2]dx拆成: ∫[(-2)/(x^2+1)^2]dx + ∫[2/(x^2+1)]dx 整理後得: ∫[1/(x^2+1)^2]dx = (1/2)∫[1/(x^2+1)]dx + [x/2(x^2+1)]-----(1) 将原式∫[(x^3+2x^2+3x-2)/(x^2+2x+2)^2]dx拆成: ∫[(x-2)/(x^2+2x+2)^2]dx + ∫[x/(x^2+2x+2)]dx 可表示成: ∫{(x-2)/[1+(x+1)^2]}dx + ∫[x/(x^2+2x+2)]dx 左项设t=x+1, x=t-1代入得 ∫[(t-3)/(1+t^2)^2]dx + ∫[x/(x^2+2x+2)]dx ∫[t/(1+t^2)^2]dt - ∫[3/(1+t^2)^2]dt + ∫[(x+1)/(x^2+2x+2)]dx - ∫[1/(x^2+2x+2)]dx ∫[(1/2)/(1+t^2)^2]d(t^2+1) - ∫[3/(1+t^2)^2]dt + ∫[(1/2)/(x^2+2x+2)]d(x^2+2x+2) - ∫[1/(1+(1+x)^2)]dx 第二项以(1)代入整理後全式得: ∫[(1/2)/(1+t^2)^2]d(1+t^2) - 3{∫[(1/2)/(1+t^2)]dt + [t/2(1+t^2)]} ∫[(1/2)/(x^2+2x+2)]d(x^2+2x+2) - ∫[1/(1+(1+x)^2)]dx [(-1/2)/(1+t^2)] - (3/2)∫[1/(1+t^2)]dt - 3[t/2(1+t^2)] (1/2)ln(x^2+2x+2) - ∫[1/(1+(1+x)^2)]dx 此式第二项及第五项要用积分公式:∫[1/(a^2+x^2)]dx=(1/a)arctan(x/a) 第五项以x的部份换成(x+1)来解，因dx部份也可换成d(x+1)，故此法可行 原式得: [(-1/2)/(1+t^2)] - (3/2)∫[1/(1+t^2)]dt - 3[t/2(1+t^2)] (1/2)ln(x^2+2x+2) - ∫[1/(1+(1+x)^2)]d(1+x) [(-1/2)/(1+t^2)] - (3/2)arctan(t) - 3[t/2(1+t^2)] (1/2)ln(x^2+2x+2) - arctan(1+x) 将t=x+1代回式子得: [(-1/2)/(1+(x+1)^2)] - (3/2)arctan(x+1) - 3[x+1/2(1+(x+1)^2)] (1/2)ln(x^2+2x+2) - arctan(x+1) 整理得: (1/2)ln(x^2+2x+2) - [(3x+4)/2(1+(x+1)^2)] - (5/2)arctan(x+1) 而此题是不定积分，所以答案自然应加上一个常数C Ans: (1/2)ln(x^2+2x+2) - [(3x+4)/2(x^2+2x+2)] - (5/2)arctan(x+1) + C ----------------------------- 越复杂的微积分题型，答案越是多变，我用我仅知的方法将题目表示成此种型式， 其实这种题目的答案可能会有很多种表示法，希望我的方法能提供你帮助。 --

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