hello, 我是电磁学一林怡成老师班的助教. 这里我把昨天习题课(或者office hour... who knows?)的投影片放上来 如果你对曲线坐标系(cylindrical, spherical)底下的divergence, curl 要怎麽计算 和怎麽系统性的表达和记忆这些公式 有兴趣 而你昨天刚好不在那里 那麽有空的时候你可以把投影片拿去看 因为这是在一天之内赶出来的 所以没有写什麽补充的文字 讲完之後想一想 也有很多可以再改进的地方(那是当然) so, 我把我口头上所讲的东西也记在下面 you may read it if you want to :) ------------ power point file: http://homepage.ntu.edu.tw/~f95942023/EM/20090325DivCurl.ppt 我第一次学会divergence和curl是在我高三的时候 那时候 学校的物理课在教的是电磁学 我就拿了一本"费因曼物理学"来读 (当然不是投影片上那本原文书 当时还只有"徐氏基金会"出版的五册翻译本) 费曼物理学的第二部是在讲电磁学 一开头就讲散度和旋度 散度定理和Stokes定理 我关於这些东西的知识都是从费曼物理学里面学到的 还包括了Maxwell equations 所以打小时候起我就看着这些东西长大 ("余忆童稚时, 能背诵马克士威尔之电磁四大方程式...") (不过写浮生六记的沈复 说起来也是个脑筋不太正常的孩子 ..."张目对日"?) 我高三的时候当然还不会大一微积分 微分也许会一点 连积分都还不太会写 但是看Feynman物理学却可以读懂divergence curl这些东西 这代表了两件事 (1)Feynman很会教 他能够把事情讲到根本 所以你可以直接懂 (2)散度旋度这些东西在本质上其实并不难 投影片的3-5页 就是Feynman教散度定理的方法 nothing fancy 就是把向量场对一个封闭曲面的积分 应用到一个微小的体积上面 旋度定理的部分讲法也类似 理论上 这就是关於散度和旋度的所有内容了 这两个公式发明的目的只是为了要把原本电磁学的积分方程式 转换成微分方程式而已 不过 当我们获得了描述电磁现象的偏微分方程组之後 要利用它们来解问题时 会有一些数学上的困难 像是如果你要解一个圆柱体里面的电场 譬如你在圆柱共振腔或同轴传输线里会遇到的状况 要用xyz的直角坐标来描述和求解 都会很困难 以圆柱为例 根据对称性 最方便的场的分量是取r, theta, z三个方向 因为场在半径方向朝四面八方辐射的量应该是完全对称的 而位置也是以r, theta, z来表达是最自然的坐标 所以我们的问题变成: 要怎麽样写出电场Er, Etheta, Ez的微分方程式? 当然 没有什麽是我们所不知道的 就把它们代入Maxwell方程式就对了 只是这当中的数学很繁复 最後的结果也不容易记忆 投影片10-13页是举个例子 假定已经给你柱坐标底下的电场 要怎麽把它代进直角坐标的微分方程里面 投影片14-16页 把这套程序应用到一般的情况底下 写出以柱坐标来表示的微分方程 (为什麽我用柱坐标为例? 因为它本质上就是极坐标 是曲线坐标当中最简单的例子 从简单而具体的例子出发 你才能教会自己怎麽样做一般性的情况 千万不要直接一来就做抽象的一般性问题) 投影片16页 我们得到一个重要的结论 就是这样看来 曲线坐标系的种类是数不清的 --你有几种边界 就会有几种曲线坐标系! 你上wikipedia查"Cylindrical coordinate system" 底下就会列出相关的items 里头有一大堆其他各式各样的坐标系 而我们之所以发明了这麽多坐标系 大都只是为了对付题目里各种不同的几何形状! 接下来 我们系统性的导出曲线坐标底下 divergence curl的一般式 同样的 在做这件事之前 我们先在一个最简单的具体例子里面练习 就是柱坐标 投影片19-22页算出柱坐标的散度 接着23-25页--用相同的程序--找出一般式 25页有一个最後结果的整理 投影片26-31页算出柱坐标的旋度 前三页是分别算三个不同方向的表面的环场积 (向量场对一个封闭曲线的积分) 真正有趣的是 这三个结果怎麽结合起来 你很少在书上看到他们解释这个东西(我从来没看过) 多半是把三个方向算出来以後 就直接变成向量了 重点是: why? 我干嘛把它变成向量? 它的意义是什麽? 投影片29-31是在回答这个问题 当你把三个基本的曲面拼在一起 把三个结果代数相加起来(注意到这里都还是纯量而已) 这三个环场积的结果是: 共用边的部分抵销掉 只剩下最外围的边界 所以意思是说: 你把向量场对最外围的这圈边界做积分 会得到这三项加起来的这个结果 分别由 三个微分的部分和三个面积 相乘之後再相加 很自然的 你可以把这个结果看成是一种向量的内积 微分的部分我们把它取个名字 叫做curl 面积的部分 就是一般性(朝任意方向)的面积向量 所以这就是最一般性的结果了 你把一个向量场对一个任意的封闭回圈做积分 会等於这个向量场的curl对回圈包起来的面积做积分 同样的 应用相同的程序 你可以得到curl的一般式 在投影片32-33页 投影片34-36整理之前的结果 从37页到最後 是一些历史 是为了补偿大家 花这麽多时间学这种数学上的技巧 这是有它的价值的 大要是 (1)最原始的坐标系 直角坐标 是谁发明的 在什麽情况下发明的 (2)第一个非直角坐标 极坐标 是谁发明的 这代表什麽意义 (3)现在我们学的这种一般性的曲线坐标 是谁发明的 他为什麽要发明 这距离人类发明第一个坐标系的时候多久 这里面特别有意思的是笛卡儿 他对於直角坐标 也就是解析几何 做了最重要的贡献 他当时的想法是 欧几里得的几何学必须要靠巧思 不同的问题就用不同的方法 而代数呢 又变得是在追逐一些越来越像是抽象艺术的公式 但是他对於代数的价值非常了解 那是人类最重要的发明之一 因为代数可以把我们用口语所描述的问题 换成数学的语言 因此可以系统性的解决问题 十个不同的应用问题 换成数学之後 都可以用相同的方法去解决 所以代数创造了一种系统性的方法 可以解决任何问题 这是笛卡儿的远见 他把代数和几何学融合在一起 如此一来 原本只和抽象的数字有关的代数 可以应用在各种在研究自然科学时所遇到的曲线 曲面上面 使自然科学可以发展成一门定量科学 牛顿在1671年就发明了极坐标和许多其他不同的平面坐标 但是整个17和18世纪 人们几乎都还是只会使用直角坐标 这件事的意义在於 你只要能够发明极坐标 你就能够发明各种其他的坐标 因为发明的方法是一样的 你只要会一个就会其他的 但是重点是 你要先会想出这第一个 如果你从来不曾想过要怎麽去做这第一个 就更不用提其他的了 而牛顿是怎麽想到的? 我猜 他是在解行星轨道的时候想到的 因为直角坐标底下 这个问题是不能解的 他必须要想办法绕过这个障碍 三度空间坐标(x, y, z) 在我们现在看来好像很直接 但是当年经过了整整50年 才被发明 La Hire绝对不是第一个想要怎麽写三度空间坐标的人 在他之前其他厉害的人物一定都想过 所以为什麽是他? (我不知道) 而等到这个世界终於来到一般性的曲线坐标 已经是200年之後的事情了 一直到了19世纪 1833年 才由某个叫做Gabriel Lame的人引进 为什麽他会这样做? 因为要解不同边界底下的偏微分方程式 这跟我们的出发点一样 我们是解电磁学的微分方程 他是解热传播的微分方程 所以我们现在在用的这些数学工具和技巧 都不是轻易得来的 不是某个人一时兴起想出来的 而是在遇到真实的问题的时候 为了解决问题而被发明的 这需要有好的想法和视野 爱因斯坦曾经说过一句话 我很喜欢 所以把它背下来 "一个人如果能够对於他所学习学科的历史有所了解 就比较能够脱离他那个时代的局限 而从这一点 我们可以分辨一个人究竟只是一个工匠 还是一个真理的追求者" (我真的是把它背出来的... 它的原文来自於高涌泉的"武士与旅人" --原文还是比较感人哈哈 如下: 今天很多人 甚至是专业科学家 在我看来 就像是看过上千株树 但却没见过森林的人 科学家如果了解科学知识的历史与哲学背景 就能够拥有某种独立性 让他免於他那一时代多数科学家所陷入的偏见 这种由哲学洞见所产生出来的独立精神 依我的意见 可以区分一个人究竟仅仅是位工匠或专家 还是一位真正的真理追求者) so, this is what I want to convey to you 希望可以让你对曲线坐标能够有一点感情 谢谢 :) p.s. 谢谢你们当天的掌声 ^^ --

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