**圆柱体 首先要知道平行轴定理：I=Icm+Mh^2 先计算一小片圆盘(转轴为一直径)的转动惯量： 而这个又要把那个圆盘想成是一层一层的圆环 而我们知道：一层半径为R质量为M的圆环之转动惯量为 0.5MR^2 所以 一片圆盘的转动惯量为一层一层从半径为R到半径几乎是零的的圆环积分积起来 如果该圆盘的半径为R质量为M，则(用S表示积分符号) I(圆盘)=S[dI(圆环)]=S(0.5r^2 dm) 又dm/dr=M*(2pr/pR^2) (方便理解可以将dm/dr看成是一个半径为r之薄圆环的质量) (p=圆周率 (2pr/pR^2)就是那片圆环(圆周长)占整个圆的面积的比值) 因此 dm=M*(2pr/pR^2)*dr I(圆盘)=S[dI(圆环)]=S(0.5r^2 dm)=S(从0积分到R)[0.5r^2*(M*(2pr/pR^2)*dr)] =0.25MR^2 所以我们知道了一个半径为R质量为M之 圆盘之转动惯量 为 0.25MR^2 因此我们将一片片薄薄的圆盘叠起来变成一个圆柱 但是这样还没有办法求得援助的转动惯量因为我们现在只知道圆盘的转动惯量 而一片片薄薄圆盘的转动惯量的转轴是在一片片薄薄圆盘各自的直径 (我们让他们的直径都平行且转动方向都一样) 在这里我们要用平行轴定理 I=Icm+Mh^2 先将两边都加上d，也就是两边都变的很小很小，且令h=x dI=d(Icm+Mh^2) => dI=dIcm +x^2 dm 现在将Icm看做是那一片片薄薄圆盘的转动惯量 (所以 Icm=0.25MR^2) 而x是一片片薄薄的圆盘的转轴到我们圆柱的转轴的距离 我们讨论的是其中一个圆盘平移转轴後(平移到圆柱的转轴)的转动惯量 所以x在此是一个定数，不是一个变数 因此 dI=dIcm +x^2 dm=d(0.25MR^2)+x^2 dm=(0.25R^2)dm+x^2 dm=(0.25R^2+x^2) dm 所以 I(圆柱)=SdI=S(dIcm +x^2 dm)=S[(0.25R^2+x^2) dm] *注意在这里的x变成一个变数了，因为每个薄薄圆盘转轴到圆柱转轴的距离都不一样 再来找出dm/dx把dm换成dx这样就可以积分了 所以我们来找dm/dx(L是圆柱长度) 因为我们假设质量是均匀分布的所以dm/dx就会是该圆柱的质量线密度也就是M/L 总之dm/dx=M/L(我有点想睡了XD) 所以 dm=M/L dx 所以 I(圆柱)=S[(0.25R^2+x^2) dm]=S[(0.25R^2+x^2)*M/L dx] (从x=L/2积到x=-L/2) =(2M/L)*S[(0.25R^2+x^2) dx] (从x=0积到x=L/2) =(2M/L)*(0.25xR^2+(1/3)x^3) (从x=0到x=L/2) =(2M/L)*(0.25(L/2)R^2+(1/3)(L/2)^3)-(2M/L)*(0.25(0)R^2+(1/3)(0)^3) =0.25MR^2+(1/12)ML^2 打了好久@@ --

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