课程名称︰调和分析一 课程性质︰数学研究所选修课程 课程教师︰刘丰哲 开课学院：理学院 开课系所︰数学研究所 考试日期︰2018年06月28日(四) 考试时限：10:20-12:10，共计110分钟 试题 : 　　　　　　　　　　　　　　　　　调和分析 1 　1. Let f∈L(-π,π] and suppose that f=0 on (-δ,δ), 0<δ<π. Show that S_n(f,x) converges uniformly to 0 for x∈[-δ/2,δ/2]. 2 2. Suppose that f∈L(-π,π] and let 　　　　　　　　　　 ～ ∞　　　　 　^ int Ｓ(f) ～ Σ -i sgn(n) f(n) e n=-∞ be the conjugate series of the Fourier series S(f) of f. 　　　　　　　　　　　　　　　　 ～ 2　　　　　　　　　 ～ Show that there is a function ｆ in L (-π,π] such that Ｓ is the Fourier 　　　　　　　 ～ series of ｆ. 1 3. Let f∈L(|R) and for δ > 0 let (δ) 1 ∞ -δξ f (x) = ---- ∫ e ∫f(t) cos[ξ(x-t)]dξ. π 0 |R (i) Show that (δ) 1 δ f (x) = ---- ∫f(t) ---------------- dt . π |R δ^2 + (x-t)^2 (δ) 1 (ii) Show that f → f in L as well as almost everywhere as δ→0. 2 2 sin(x/2) 1-cos(x) 4. Let K(x) = ------------ = ---------- be the Fejer kernel function. π x^2 πx^2 We know that　　　　　 ︿ 1 + Ｋ(ξ) = --------- ( 1 - |ξ|), ξ∈|R. √(2π) 1 (i) Show that if f∈L, then 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ︿ ixξ 　　　　　　　　　　　　K ﹡f(x) = ∫ (K ﹡f)(ξ) e dξ, x∈|R. t |R t 1 (ii) Show that if f∈L and x is a Lebesgue point of f, then |ξ| + ︿ ixξ f(x) = lim ∫ ( 1- ------) ｆ(ξ) e dξ. 　　　　　　　　　　　　 R→∞ |R R p 5. Let f∈L(|R), 1<p<∞. Show that there is a sequence {φk}⊂S such that lim || Hφ - Hf || = 0 and lim Hφ(x) = Hf(x) a.e. k→∞ k p k→∞ k (S is the Schwartz space of all rapidly decreasing functions on |R.) --

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