作者BreathWay (息尉)
看板NTU-Exam
标题[试题] 105-2 郑明燕 统计学导论 第三次小考
时间Fri Jun 23 13:04:51 2017
课程名称︰统计学导论
课程性质︰数学系选修
课程教师︰郑明燕
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2017/5/16
考试时限（分钟）：50
试题 :
1.(24pt) 令{X } 为来自N(μ,100)的随机样本. 我们欲检定H :μ=80 vs H :μ>80.
j j=1~25 0 1
_
令弃却域(拒绝域; rejection region)C为{(x , x , ..., x )|x > 83}.
1 2 25
_
x 表示观测值(x , x , ..., x )的平均.
1 2 25
(1)(8pt) 试求此检定的检定力函数β(μ). hint: 检定力函数为弃却虚无假设H 的
0
机率, 亦即你所观测到的样本落在弃却域的机率.
= Pr((X , X , ..., X )∈C|X , X , ..., X ~ N(μ,100))
1 2 25 1 2 25
(2)(8pt) 犯下型Ⅰ错误(Type Ⅰ Error)的机率为多少?
hint:「型Ⅰ错误」 ... 於H 为真的情况下, 弃却H 的错误.
0 0
(3)(8pt) μ = 86时, 犯下型Ⅱ误差(Type Ⅱ Error)的机率为多少?
hint:「型Ⅱ错误」 ... 於H 为真的情况下, 不弃却H 的错误.
1 0
2.(28pt) 令{X } 为独立同态的随机样本, 且服从连续型分布, 令f(x|θ)(x∈R)
j j=1..n
为其机率密度函数. 其中θ为未知参数, 我们欲检定H : θ vs H : θ . 令弃却域
0 0 1 1
n
Π f(x |θ )
j=1 j 1
C = {(X , X , ..., X ) | ---------------- > k}.
1 2 n n
Π f(x |θ )
j=1 j 0
{ 1; (X , X , ..., X )∈C
令 φ (X , X , ..., X ) = { 1 2 n .
C 1 2 n { 0; (otherwise)
设 k 使得 E[φ (X , X , ..., X )|H ] = α, (0 < α < 1).
C 1 2 n 0
*
此外, 我们考虑任意的检定, 令其弃却域为C . 同样,
*
{ 1;(X , X , ..., X )∈C
令 φ (X , X , ..., X ) = { 1 2 n ,
* 1 2 n { 0; (otherwise)
C
且满足 E[φ (X , X , ..., X )|H ] = α.
* 1 2 n 0
C
(1)(4pt) 检定φ (and φ )的显着水准为多少?
C *
C
hint: 在简单假设下，「显着水准」与犯下型Ⅰ错误的机率一致.
n n
(2)(8pt) 令 g = (φ - φ )(Π f(X |θ ) - kΠ f(X |θ )). 试证 g≧0.
C * j=1 j 1 j=1 j 0
C
(3)(8pt) 令β (θ ), β (θ ) 分别表示φ 与φ 的检定力.
φ 1 φ 1 C *
C * C
C
试证β (θ ) ≧ β (θ ). hint: 考虑g的积分.
φ 1 φ 1
C *
C
(4)(8pt) 试叙Neyman Pearson's lemma为何. hint: (1), (2), (3)
3.(20pt) 令X为一个离散型的随机样本, 其分布包含一个未知参数θ.
θ∈Θ={θ , θ , θ }. X的机率分布如下:
1 2 3
X 0 1 2 3 4
Pr(X|θ ) 0.00 0.05 0.05 0.80 0.10
1
Pr(X|θ ) 0.05 0.05 0.80 0.10 0.00
2
Pr(X|θ ) 0.90 0.08 0.02 0.00 0.00
3
我们欲检定 H : θ∈{θ } vs H : θ∈{θ , θ }.
0 3 1 1 2
sup
θ∈{θ } Pr(X|θ)
3
(1)(4pt) 试求Λ(X) = ---------------------
sup Pr(X|θ)
θ∈Θ
(2)(8pt) 试导出显着水准 α = 0.02 下的概似比检定(Likelihood Ratio Test).
hint: 求k使得 Pr(Λ≦k|H ) = 0.02 以及 C 使得 X∈C <=> Λ(X)≦k.
0
(3)(8pt) 试求(2)所求的检定之检定力函数β(θ)(θ∈{θ ,θ }).
1 2
2 2
4.(28pt) 令{X } 为来自N(μ,σ )的随机样本, 其中θ为未知参数, σ 为已知.
j j=1~n
我们欲检定H : θ = θ vs H : θ = θ (θ < θ ).
0 0 1 0 1
(1)(10pt) 试利用Neyman Pearson's lemma来求显着水准为α的最强力检定
(Most Powerful Test).
(2)(8pt) 试叙(1)所求的检定是否为对於H : θ = θ vs H : θ > θ 的均匀
0 0 1 0
最强力检定(Uniformly Most Powerful Test).
(3)(10pt) 试证均匀最强力检定为不偏检定.(Unbiased Test)
* { 1; (with probability α)
hint: 考虑随机化检定φ = {
{ 0; (with probability 1-α)
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