课程名称︰管理数学 课程性质︰ 课程教师︰黄以达 开课学院： 开课系所︰财金系 考试日期（年月日）︰ 考试时限（分钟）： 试题 : A部分 线性代数 (A1)(8%) 希妈解一个三阶的线性方程组Ax=b，经由高斯-乔丹消去法他先做增广矩阵，求出其列已 简化梯形矩阵，得到新的方程组的写法是Rx=d，最後求出所有解的表达如下： [4] [2] [5] x= [0]+ C1[1]+ C2[0] C1,C2∈R [0] [0] [1] (1)(2%) 请问rank(A)=? (根据题意A是三阶方阵) (2)(2%) 请推理出R的内容。 (3)(1%) 请推理出d的内容。 (4)(3%) 已知希妈所做的列运算顺序是先将增广矩阵的第一列乘以(-3)加到第二列，再将 第一 列乘以5加到第三列才得到R,d。请推理出A与b的内容。 (A2)(8%) [ 4 6 10] A=[ 6 10 18] [10 18 35] (1)(4%) 求A^(-1)。 (2)(4%) 请将A矩阵进行乔列斯基分解。 (A3)(5%) [0 1 2 2] A=[0 3 8 7] [0 0 4 2] (1)(3%) 请求N(A)上的一组基底。 (2)(2%) 请问A是否存在右反矩阵B，可使得AB=I ? (仅回答是或否即可) 3x3 (A4)(3%)(克漏字填空)(全对才计分) Suppose a 3 by 5 matrix A hasU rank r=3. Then the equation Ax=b _____(1)______ has ________(2)___________. (1) (A) always (B) sometimes but not always (2) (A) a unique solution (B) many solutions (C) no solution (A5)(5%)(是非题)(不必附上理由) (1) 对称的矩阵一定可以做乔列R斯基分解。 (2) 假设V与W是正交的，V⊥与W⊥也必定是正交的。 (3) 假设一个群里面只有三个元素，则我们可以推论这个群一定也是个交换群。 (4) 已知a,b是两个实数，且13a+27b是有理数，23a-16b也是有理数，所以我们可以推论 出a,b必定都是有理数。 (5) 所以反矩阵存在的三阶方阵，他们之间必定都是列等价的。 (A6)(4%)(多重选择题)(错一个得两分，错两个以上不计分) 已知一个线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn大小的矩阵，其秩为r，请选出正确的选项。 (A) 若解的行为是恰有一解，则我们可以确定m≧n。 (B) 有A的行向量线性独立，则我们确定解的行为是恰有一解。 (C) 若A的列向量线性独立，Ax=0就可以确定是唯一解。 [1] [2] [1] (D) 设n=3，已知Ax=[2]无解，Ax=[3]唯一解，那麽Ax=[1]绝对无解。 [3] [4] [1] (A7)(4%) [ 0 8 0 1 0] [ 3 2 1 1 1] A=[-2 4 2 3 2] [ 0 2 5 7 0] [ 0 8 0 6 0] 请计算det(A)。 (A8)(13%)(证明题) (1)(4%) A为一个mxn大小的矩阵，则dim(RS(A))=dim(CS(A)) (2)(3%) 设A,B为n阶方阵，det(AB)=det(A)det(B) (3)(3%) rank(AB)≦min(rank(A),rank(B)) (4)(3%) det(A)=det(A^T) B部分 机率浅论 (B1)(5%) 定义一随机变数X，其代表施行n次实验内总共成功的次数。利用此随机变数来描述这样的 随机现象之机率分配称之为二项分配，其机率质量函数可描述如下： C(n,x) p^x (1-p)^(n-x)，x=0,1,2,...,n 　　　　　　　　　Ｐ(X=x)=f(x)= 0, otherwise 其中已知n,p为两常数，其中n为给定的自然数以及0<p<1。我们常简记为X~B(n,p)。已知 二项分配的三阶原点动差可表示成： E(X^3)=P (n)p^3+(3n^2-3n)p^2+np 3 其中P (n)中为一个n的三次多项式，请求P (n)=? (不计方法，亦可不须过程0) 3 3 (B2)(10%) 若有一随机变数X，我们称其服从珈玛分配，意即其机率密度函数可描述如下： λ^α f(x)= ﹉﹉﹉ x^(α-1)e^(-λx),x>0 Γ(α) 0，x≦0 其中已知α，λ为两常数，且α>0以及λ>0。我们常简记为X~Gamma(α,λ)， 请回答下列问题。 (1)(1%) 假设Y是一个随机变数且服从自由度为1的卡方分配，其等价於 Y~Gamma(_____,_____) (2)(2%) 假设Y1，Y2，Y3是三个彼此独立的随机变数且阶服从自由度为1的卡方分配， 今定义Z=Y1+Y2+Y3,请问Z~Gamma(_____,_____) (3)(3%) 承上题，请根据期望值定义计算E(√Z)=? (4)(3%) 假设有一颗科学家观察一个粒子在空间中移动的状况，他发现在经过一分钟之 後，此粒子在空间中三个方向的位移正好各自服从常态分配，且三个方向皆统计独立，故 科学家定义此粒子在一分钟之後的空间座标为(X,Y,Z)，此为一个随机向量，其中每个分 量的机率分配为X~N(0,2),Y~N(0,2),Z~N(0,2)，我们可以定义移动位移长为 _________________ D=√X^2 + Y^2 + Z^2 请求此粒子在一分钟之後的期望移动位移长，即E(D)=? (HINT:利用(3)) (B3)(1+1+2%) 关於连续型分配，请回答以下问题：(可以不必任何计算过程) (1) 唯一具有无忆性的是_____分配 (2) X~Lognormal(1,1)，请求E(X^2)=? (3) f(x)=cx^2 (1-x)^2,0<x<1,在c=____时，f(x)为一良好定义的机率密度函数 (B4)(2+2%) 关於离散型分配，请回答以下问题：(可以不必任何计算过程) (1) X~HG(N,k,n)，此为从有限母体中以抽出不放回的方式抽取n个物体，记录来自关心群 的个数，其中N为母体内元素的个数，k为关心群个数，则在此超几何分配中，请问有限母 体校正因子的大小是___________ (2) 设X~Poi(λ)，请求Kurtosis(X)=___________ (B5)(3%) 吕育道教授曾在财务演算法的课程中介绍一种快速模拟出来自标准常态分配的随机样本 的方法，方式如下: 「先用电脑模拟12个来自均匀分配(0,1)的随机值，紧接着将他们的和再扣掉6，则你就会 得到一个很像是标准常态分配中所随机抽取的一个数值。」 (1)(1%) 请解释这种方法有何先天上的限制，也就是与常态分配不符合的地方？ (2)(2%) 请说明这种方法的理论想法是什麽?为什麽得出来的资料会接近标准常态分配的 行为？(提示：与动差有关) (B6)(5%) 若有一随机变数X，其机率密度函数可描述如下： 24x^2 e^(-8x^3), x>0 f(x)= 0, x≦0 设Y=X^3，则Y服从哪一个我们熟知的分配?(需写出分配名称及参数) (B7)(5%) 若有一随机变数X，其机率密度函数可描述如右: 2(x-a)/[(b-a)(c-a)] , a≦x≦c f(x)= 2(b-x)/[(b-a)(b-c)] , c< x≦b 0 , o.w. 其中a≦c≦b, a,b,c∈R，请计算E(X)。 (B8)(2+3%) 有一个看似「公平」的赌博游戏进行如下：参赛者先付报名费200元，然後掷一枚硬币 四次，奖金为掷出正面次数之100倍。若庄家使用的硬币为「不公正硬币」，掷出正面 之机率为0.25，且四次结果不会互相影响，则此赌徒参加赌局的期望报酬与期望报酬 之标准差分别是多少元？ (B9)(5%) 假设A汽车公司引进一个起重机系统，今定义一随机变数T表示此系统可维持运转之寿命， 且已知其CDF函数如下 1-(3/t)^2 ,t>3 F(t)= 0 ,o.w. 假设此系统在停止运转时所需的维修费用为Y=T^2，请求出Y的机率密度函数。 (B10)(5%) 假设B纺织公司考虑购买一机器设备，采购价格为10亿。你是此公司之高阶主管，想要说 服 董事会购买此一设备，於是提出了残余价值的概念。你定义一随机变数X表示此设备可维 持 运转之寿命，并透过业界报告分析得知其设备寿命服从一指数分配，其动差母函数如下： 1/(1-6t) , t<1/6 M_x(t)= 0 , o.w. 以及评估其设备在第X年的残值之折现价值为Y，数学关系式为 Y=10*0.4^(X) 最後你提出新成本之看法应该为C=10-Y，请求出新成本之期望值E(C)。 C部分 豆知识 1.(2%) 请写出着名的尤拉公式，并利用尤拉公式的强大，将i当成常数一般，对公式的两 边 微分，再三行以内同时证明出： dsinθ/dθ=cosθ；dcosθ/dθ=-sinθ 2.(2%) 假设你被外星人绑架，从你醒来的第一天算到今天已经连续活下来了二十五天， 你 想知道你明天还能继续活着的机率是多少，於是你想起拉普拉斯曾经说过的一个公式，他 说可以应用於所有我们不认识的事物上，於是根据拉普拉斯的说法，你算出明天还能继续 活着的机率是多少？ 3.(2%) 关於亚里斯多德与其哲学的叙述，下列正确的有： (A) 誉为「第一位精通所有知识的人」 (B) 誉为「最後一位精通所有知识的人」 (C) 西塞罗描述他的文学风格为「金河」 (D) 西塞罗描述他的文学风格为「银河」 (E) 亚里斯多德的追随者被称为步行者 (F) 亚里斯多的的追随者被称为路行者 (G)「理念的科学」 (H)「研究真实宇宙原因的科学」 4.(2%) 拉普拉斯侯爵、李亚普诺夫、棣美弗、波莱尔、费雪。关於这五位数学大师，请 按照与他们有关的选项依序排出。(例如：CBADE) (A) 英俊小夥子 (B) 嗜睡症 (C) 斯特灵公式(Stirling's Formula)的真正发明者 (D) 证明有限覆盖定理 (E) 撰写宇宙系统论 5.(2%)关於亚里斯多德的名言，错误的有： (A) 真正的朋友，是两个灵魂在一个躯壳里。 (B) 所谓平等，就是富人不占穷人的便宜。 (C) 欲望是人类的本性。 (D) 只有上帝可以改变过去。 6.(1%)欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了 一声： 「我的菸斗」，并弯腰去捡，结果再也没有站起来，他抱着头说了一句：「我死了」。 後面这句经常被数学史家引用的话，出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口：「he ceased to __________ and to live。」 7.(1%)「是谁让_______如棣美弗那般精确，不靠量尺准绳就设计出图样？」这段话是英 国诗人波普(Alexander Pope)在他的着作《人的赞礼》中，对棣美弗的数学能力表示敬意 。 8.(1%)棣美弗曾道：「我靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧 ，於是就将这部巨着拆开，当我教完一家的孩子後去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久 便把这部书学完了。」请问他讲的这本巨着的名称是？ 9.(1%) 一般认为演化的驱力主要来自有突变的因素以及选择的因素，根据费雪的研究， 他认为何者所占的重要性较高？ 10.(1%)请问从经济学的角度来看，玛丽莲梦露与黑鲔鱼的存在何种的等价关系？ 11.(1%)「若则然，反之则未必不然。」指的是逻辑学上的何种现象？ 12.(1%)请叙述几何学中的平行公理。 13.(1%)人的一生都在经历不断的______与________的过程中，因此诞生了「数」。 14.(1%)是哪位数学家证明了五次方程式没有根式解？ 15.(1%) 请问是哪一部电影片名直接点出人类其实是电脑魔王所建造子宫里被奴隶操控 的生物。(写中文或英文片名皆可。) --

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