课程名称︰分析导论优二 课程性质︰数学系大二必修 课程教师︰王振男 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2015/06/02 考试时限（分钟）：35 试题 : 1. (10%) Let (x, y) ∈ I = [-1, 1] ×[-1, 1] and xy ╭ ─────, if (x, y) ≠ (0, 0), │ 2 2 2 f(x, y) = ╯ (x + y ) │ ╰ 0, if (x, y) = (0, 0). Show that the iterated integrals of f over I are equal, but they are not equal to the integral of f over I. Does this contradict Fubini's theorem? γ 2. (10%) Let x f(x) be integrable over (0, ∞) for γ = α and γ = β, where ∞ γ α < β. Show that for each γ ∈ (α, β), F(γ) = ∫ x f(x) dx exists and 0 is a continuous function of γ. -- 2 2 1 ψxavier13540 给定一个二次元(|R )上的开集 G，设 f: G →|R ∈ C 。考虑一 autonomous system ╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，则 ╰x(0) = x° t ω(x°) 只能是一定点、一周期轨道或连接有限个 critical point 的连通路径，不会像三 次元一样可能出现混沌(chaos)。此即为 ODE 动力系统中的 Poincaré–Bendixson 定理。 --

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