课程名称︰线性代数 课程性质︰必修 课程教师：颜文明 开课学院：电资学院 开课系所︰资工系 考试日期（年月日）︰ 考试时限（分钟）： 试题 : 100-1 线性代数期末考(颜文明) ╭ |2x+y-z| + |x-y+z| + |2x-y| │ ╮ 1. 求 max < ────────────── │x,y,z∈R 且 x^2 + y^2 + z^2 ≠ 0 > ╰ |x| + |x+y| + |x+y+z| │ ╯ 2. A ∈ R^(3×3), A 的 eigen value 为 5, 4, 1，求 trace(adj(A)) 3. V_1, V_2 为 V 的向量子空间，试证明 V_1 ∩ V_2 也是 V 的向量子空间 ╭ max(|x+y-z|, |2x-y|, |y+2z|) │ ╮ 4. 求 max < ───────────────│x,y,z∈R 且 x^2 + y^2 + z^2 ≠ 0 > ╰ max(|x+y|, |y+z|, |z+x|) │ ╯ ┌ -3 0 0 0 ┐ 5. A ∈ R^(4×4), A = Q│ 0 2 0 0 │(Q^T), Q 为一正交方阵, 请求出 A 的 │ 0 0 5 0 │ └ 0 0 0 -7 ┘ Singular Value Decomposition. ╭ x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz │ ╮ 6. 求 min < ───────────── │x,y,z∈R 且 x^2 + y^2 + z^2 ≠ 0 > ╰ x^2 + y^2 + z^2 │ ╯ 7. A ∈ R^(7×9), rank(A) = 5, 求 dim(Null(A)), rank(A^T), rank((A^T)A), rank(A(A^T)), dim(Col(A)). ┌ 3 2 2 ┐ 8. A = │ 2 3 2 │, 请对 A 做对角化，使得存在 P ∈ R^(3×3), └ 1 1 2 ┘ ┌ λ_1 0 0 ┐ (P^(-1))AP = │ 0 λ_2 0 │, λ_1 ≧ λ_2 ≧ λ_3. └ 0 0 λ_3 ┘ ┌ 1 2 -2 ┐ 9. B = │ 2 -2 3 │, 请问 B 是否可以对角化? └ 2 2 -1 ┘ 如果可以请对它对角化，如果不行请说明原因。 10. 请找出 3×3 的正整数矩阵 A 使得 A^(-1) 为整数矩阵，并请求出 A^(-1)。 --

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