课程名称︰分析导论优二 课程性质︰数学系大二必修 课程教师︰王振男 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2015/03/10 考试时限（分钟）：40 试题 : 2 1. (10%) Let Ω be an open set in |R . Assume that (a, b) ∈ Ω and f: Ω → |R 3 is a C function. Prove 4 2π lim ── ∫ f(a + r cosθ, b + r sinθ) cos(2θ) dθ = f (a, b) - f (a, b) r→0 2 0 xx yy πr 2. (10%) Define α 2 2 ╭ |xy| log(x + y ), if (x, y) ≠ (0, 0), f(x, y) = ╯ ╰ 0, if (x, y) ＝ (0, 0), where α > 1/2. Is f differentiable at (0, 0)? -- 2 2 1 ψxavier13540 给定一个二次元(|R )上的开集 G，设 f: G →|R ∈ C 。考虑一 autonomous system ╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，则 ╰x(0) = x° t ω(x°) 只能是一定点、一周期轨道或连接有限个 critical point 的连通路径，不会像三 次元一样可能出现混沌(chaos)。此即为 ODE 动力系统中的 Poincaré–Bendixson 定理。 --

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