课程名称︰管理数学 课程性质︰必修 课程教师︰黄以达 开课学院：管理学院 开课系所︰财务金融学系 考试日期（年月日）︰101.12.07 考试时限（分钟）：50 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 一、24% 假设A为一正定的矩阵且A^-1存在，请证明 (1)8% A的特徵值必定大於零。 (2)8% A^-1的特徵值必定与A的特徵值成倒数。 (3)8% A^T的特徵值必定与A的特徵值相同。 二、16% 设A为一个实对称矩阵，请证明以下命题。 (1)8% A的不同特徵值所对应的特徵向量必线性独立。 (2)8% A的不同特徵值所对应的特徵向量必垂直。 三、8% 请证明不同的特徵值所对应的特徵向量必定线性独立。 四、5% 设A为一n阶方阵，且特徵值分别为λ1、λ2、...、λn 。今定义A的特徵多项式为 f(λ)=det(A-λI) 请利用特徵多项式证明下列事实。 n (1)8% tr(A)= Σλi i=1 n (2)8% det(A)= Πλi i=1 五、16% ┌ 4 2 -5┐ A= │ 6 4 -9│ └ 5 3 -7┘ (1)8% 求此三阶矩阵的特徵值。 (2)8% 求每个特徵值所对应的特徵空间。 六、20% (多重选择题) 设B为一个四阶矩阵，已知B有四个特徵值分别为-2、0、1、2。根据以上的资讯，请问下 列哪些叙述必定是正确的？ (a)N(B^TB)的维度是1 (b)rank(B^2 - I)=3 (c)det((B+I)^(-1)(B+3I)^T)=12 (d)(B^(2) + I)的反矩阵存在 (e) tr((B+I)(B+3I))=16 七、30% ┌ 0.2 0.4 0.3 ┐ A=│ 0.4 0.2 0.3 │ └ 0.4 0.4 0.4 ┘ (1)5% 请证明任意三阶马可夫矩阵必定含有特徵值为1。 (2)5% 请求出此矩阵的所有特徵值。 (3)10% 请对此矩阵做对角化。 (4)10% 请求 lim A^n=？ n→∞ --

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