课程名称︰高等微积分一 课程性质︰数学系必修 课程教师︰陈金次 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2014.1.7 考试时限（分钟）：170分钟 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 注意事项：作答时将答案卷分成五份，1-2题写在A卷、3-4题写在B卷、5-6题写在C卷、 7-8题写在D卷，9-10题写在E卷，如发生答案写在不同答案卷上者，将不予计分。 五份答案卷的系级、学号、姓名皆须标示清楚，每少一个扣五分。 1. (10分) f：R → R 为continuous open mapping，试证：f 为 monotone。 2. (12分) f 为定义於 [0 ,∞] 上的实连续函数，若∀x 属於 [0 ,∞]， 集合 A(x) = {f(nx)｜n = 1, 2, 3, ...} 有界，试证 f 有界。 3. (10分) 试造一集合B属於R，B为第二类集(2nd category)，但其Lebesgue测度为0。 4. (10分) f(x, y) = √(xy) , x ≧ 0 , y ≧ 0 ，问：f 是否均匀连续。 5. (12分) f 为定义在 [a, b] ×[c, d]上的实连续函数，定义 ψ(x) = max f(x, y) c≦y≦d 试证明：ψ(x)在[a, b]上连续。 6. (10分) k(x, y)为定义在 [0, 1] ×[0, 1]上的连续函数，｜k(x, y)｜< 1，对於 ∀(x, y)属於[0, 1] ×[0, 1]。给定ψ(x)属於 C[0, 1]，试证存在唯一函数f属於 1 C[0, 1]满足积分方程 f(x) = ψ(x) + ∫k(x, y)f(y)dy. 0 7. (10分) (a) 求 f(x) = (1 + x + x^2)^(-1) 的 Maclaurin 级数。 (b) 求级数1 - (1/2) + (1/4) - (1/5) + (1/7) - (1/8) ...之值，详述其理由。 ∞ 8. (12分) 根据 Dirichlet test，级数Σ (sin(nθ))/n 收敛，-π≦θ≦π，试求其值 n=1 9. (10分) f在[0, 1]上可导，f(0) = f(1) = 0，f(x)≧0 ∀x属於[0, 1]，若 1 ∫f(x)dx = 1 ，试证：存在c属於(0, 1)使｜f'(c)｜≧4。 0 10.(12分) (a) 试述幂级数基本定理。 ∞ ∞ (b) f(z) = Σ a_n*z^n, |z|≦R，试证：f'(z) = Σ na_n*z^(n-1)。 n=0 n=0 --

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