作者benny9072004 (Wombat)
看板NTU-Exam
标题[试题] 102上 陈金次 高等微积分一 第二次期中考
时间Sat Nov 30 13:06:24 2013
课程名称︰高等微积分一
课程性质︰数学系必修
课程教师︰陈金次
开课学院：理学院
开课系所︰数学系
考试日期（年月日）︰2013.11.30
考试时限（分钟）：170分钟
是否需发放奖励金：是
（如未明确表示，则不予发放）
试题 :
注意事项：作答时将答案卷分成五份，1-2题写在A卷、3-4题写在B卷、5-6题写在C卷、
7-8题写在D卷，9-10题写在E卷，如发生答案写在不同答案卷上者，将不予计分。
五份答案卷的系级、学号、姓名皆须标示清楚，每少一个扣五分。
1.(10分) "lim(x→a)f(x) = l <=> lim(n→∞)f(xn) = l, ∀xn → a , xn≠a"
试证之。
2.(10分) p(z) = z^n + a_(n-1)*z^(n-1) + … + a_0 为一复系数多项式，若p(z)≠0
∀z 。 试证：1/|p(z)| 有界。
3.(10分) f : [0,1] → [0,1] 为对射连续函数(1-1 , onto and continuous)，
f(0) = 0，f(1) = 1，问下列叙述正确否？
(a) f在[0,1]上严格递增。
(b) f^(-1)亦为连续。
4.(10分) f(x) = { sin(1/x) , 0 ＜ x ≦ 1
{ 0 , x ＝ 0
问：f在[0,1]上是否Riemann可积分？
5.(10分) (a) A⊂R 既open又closed，试证：A = ψ或A = R。
(b) A⊂R^2既open又closed，试证：A = ψ或A = R^2
6.(10分) 在R中，令d(x,y) = { 1 , 当 x ≠ y , 问：f在[0,1]上是否Riemann可积分？
{ 0 , 当 x ＝ y
7.(10分) A⊂R^n , B⊂R^m 皆为compact , 试证：A ×B 为R^(n+m)的compact set。
8.(14分) (X,d)为compact metic space，试证：
(a)X有countable dense subset
(b)X为complete
9.(10分) l^2 = {x|x = (x1,x2,x3,...), xn∈R，Σxn^2 < ∞}。
定义∥x∥_2 = (Σxn^2)^(1/2)。令B = {x| x∈l^2, ∥x∥_2 < 1}
问：B是否为compact？
10.(14分) A⊂R^n , A为有界闭集(bounded and closed)，试证：A为compact。
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※ 编辑: benny9072004 来自: 49.158.96.14 (11/30 21:22)
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