课程名称︰线性代数二 课程性质︰数学系大一必修 课程教师︰翁秉仁 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期︰2010年03月12日(五)，11:20-12:10 考试时限：60分钟 是否需发放奖励金：是 试题 : 　　　　　　　　　　　　线性代数小考 2010/03/12 　　　　　　 ┌ -1 1 -1 ┐ 1. [30%] A = │ -1 1 0 │. Find all eignevalues and the corresponding 　　　　　　 └ 0 0 1 ┘ eigenspaces of A. 2. [30%] Suppose u and v are two non-zero vectors in |R^n, we define the n ×n square matrix A by 　　A = u ． v^T 　a. Find all eigenvalues and the corresponding eigenspaces of A.[20%] 　b. Could we always find an eigenbasis for A?[10%] 3. [40%] Let P2 be the vetor space of polynomials whose degree are ≦2 and M2 be the vector space of 2 by 2 square matrices. A = ┌ 1 1 ┐. We define the map 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 └ 1 0 ┘ 　　T : P2 → M2 by T(at^2 + bt +c) = aA^2 + bA + cI. 　a. Prove that T is a linear transformation.[8%] 　b. Let 1,t,t^2 be a basis of P2; and ┌ 1 0 ┐，┌ 0 1 ┐，┌ 0 0 ┐， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 └ 0 0 ┘　└ 0 0 ┘　└ 1 0 ┘ 　　┌ 0 0 ┐ be a basis of M2. Find the correspnding matrix [T] of T w.r.t 　　└ 0 1 ┘ 　　these bases. [8%] 　c. Describe the ker T. [8%] 　d. Describe the im T. [8%] 　e. Does A^5 ∈im T? [8%] --

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