课程名称︰复变数函数论 课程性质︰数学系大三必修 课程教师︰王蔼农 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期︰2012年01月10日(二)，13:20-15:10 考试时限：110分钟 是否需发放奖励金：是 试题 : 　　　　　　　Complex Analysis Final　　　　　　　　　　Jan. 10 2012 1. Can you find a non-constnat harmonic function u(x,y)≧0 defined on the whole 　 xy-plane? If yes, u(x,y)=?　Can you find a non-constant subharmonic function 　 v(x,y)≧0,　△v(x,y)≧0 defined on the whole xy-plane? If yes, v(x,y)=? 　 (10/50) 2. Ω={z| 0<|z|<1}. Can you solve the Dirichlet problem and find a harmonic 　 function u in Ω with boundary value f(θ)≡0 when |z|->1, and u->1 when 　 |z|->0 ? If yes, express u interms of polar coordinate u=u(r,θ)=? 　 A={z| 1/2<|z|<1 }. Can you solve the Firichlet problem and find a harmonic 　 function U in A with boundary value f(θ)≡0 when |z|->1, and u->1 when 　 |z|->1/2 ? If yes, express U in terms of polar corrdinate U=U(r,θ)=? 　 (10/50) 3. Let w=w(z) be a doubly periodic elliptic function w(z) = w(z+K) = w(z+iK) 　 satisfying the differential equation w'(z) = dw/dz = √[(1-w^2)(1-k^2w^2)]. 　　k = ?　(10/50) 　　　　　　　　　　　　　∞ 4. For Re(z) > 1, ζ(z) = Σ(1/n^z). As z->1, ζ(z)->∞. Is z=1 an isolated 　　　　　　　　　　　　　1 　 singularity? If not, determine its domain as a Riemann surface with 　 branch points. If yes, residue (ζ,z=1)=? 　　　　　　∞　　 n 5. tan z = Σ(a_n)z　　　　a_7 = ? (10/50) 　　　　　　0 --

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