课程名称︰统计学与实习(一) 课程性质︰必修 课程教师︰林惠玲 开课学院：社会科学院 开课系所︰经济系 考试日期（年月日）︰2013.01.08 考试时限（分钟）：160分钟 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 注：希腊字母都打不出来，所以用发音代表，有大写的代表大写希腊字母 一、[16%] 问答题 　　1.设Ｘ为统计学课本的需求(本)，Ｙ为其价格(元)，Ｚ为其所得(元)，均为随机变数 ，下列叙述是否正确？ 　　(1)若Ｘ与Ｙ的计量单位改变，Ｘ改为千本，Ｙ改为百元，则rho(xy)会有何改变？ 　　(2)若Ｙ＝a+bＸ+cＺ，则rho(xy)会等於1吗？理由。 (3)若E(X|Z)=E(X)，V(X|Z)=V(X)，则所得与统计学课本的需求是否独立？ 2.设Ｘ为一随机变数，其平均数与变异数分别为mu与sigma^2，均为未知。今随机抽取 　　　一组大样本，X1、X2...Xn，试求a+b*mu的(1-alpha)的信赖区间。 　　 　　3.请问机率抽样方法有哪些？现若想了解台大学生一星期读书的时间，请问你要利用 　　　何种抽样方法？理由？ 二、[15%] 大学教育中，在校学生与毕业学生对老师的教学评监日益重要，且此评监已成 　　为选拔优良教师的重要指标之一。教师评监中有一条综合问项，＂请问你对老师的教 　　学整体是否满意？＂，满意为1，不满意为0，假设毕业学生的满意度为70%，请回答下 　　列小题： 1.随机抽取10位学生，满意度超过80%的机率为何？ 　　2.随机抽取100位学生，满意度超过80%的机率为何？ 3.承题2，抽样误差小於5%的机率为何？ 　　4.现林同学随机抽取100位学生，得知回答＂满意＂的同学有78人，试估计满意度的 　　　95%信赖区间。 　　5.在95%的信赖区间下，若林同学希望抽样误差在4%内，请问他要抽取几个样本？ 三、[15%] The woner of a restaurant that serves continental food wants to study characteristics of customers of his restaurant. In particular, he decides to focus on three variables: the amount of money spent by customers, whether customers order dressert and the variance of money spent by customers. The results from a sample of 25 customers are as follows: ˙Amount spent: Xbar=$38.54, S=$7.26 　　˙10 customers purchased dessert. 1.Set up a 95% confidence interval estimate of the population mean amount spent per customer in the restaurant. 2.Set up a 90% confidence intervalestimate of population standard deviation of amount spent per customer in the restaurant. 3.What assumptions are necessary to ensure the validity of the confidence interval? 4.If the owner wants to have 95% confidence of estimating the population mean amount spent in his restaurant to within +-$1.50 and the standard deviation is assumed to be $8, what sample size is needed? 5.If the population standard deviation is $10, what is the probability of s^2 greater than $138.3? 四、[18%] 设X1,X2,...,Xn为抽取自指数分配的随机样本，指数分配如下： 　　　　　　　　f(X;theta)=(1/theta)exp(-x/theta) 请回答下列小题： 　　1.利用最大概似估计法求E(X)=theta与V(X)=theta^2的估计式。(未学过微积分者，请 　　　利用动差法求theta与theta^2之估计式并利用MME回答2.3.4小题) 2.theta与theta^2的最大概似估计式(MLE)是不偏误差估计式吗？理由。若为偏误估计 　　　式请求不偏误估计式。 　　3.theta与theta^2的MLE是一致估计式吗？理由。 　 4.试求theta与theta^2的MLE之渐进分配。 　　5.试求theta与theta^2在CC=1-alpha下之信赖区间。 五、[12%] Let X1,X2,...,Xn be a random sample with E(Xi)=mu, V(Xi)=sigma^2 1.Show that sigmahat^2=(1/n)Sigma((xi-xbar)^2) is biased estimator for sigma^2 where s^2=1/(n-1)*Sigma((xi-xbar)^2) is unbiased estimator for sigma^2. 2.If xi is a normal distribution (1) Find V(sigmahat^2) (2) Show that V(s^2)<V(sigmahat^2) 六、[9%] Let X1,X2,X3,X4,X5 be a random sample for a normal population with mean 0 and variance 1. Let xbar=1/5*Sigma(xi).Let X6 is another independent observation from same population. 1. What is the distribution of W=Sigma(i=1~5)xi^2, why? 2. What is the distribution of U=Sigma(i=1~5)(xi-xbar)^2, why? 3. What is the distribution of sqrt(5)*X6/sqrt(W), why? 未学过微积分者请回答第八题 七、[15%]令X1与X2的联合机率密度函数为f(x1,x2)=2，0< x1< x2<1。 　　注：E(X1)=1/3，V(X1)=1/18，E(X2)=2/3，V(X2)=1/18 (没有推导过程的正确答案，视同零分) 1. 求机率P(0< X1 <0.5) 2. 求条件机率P(0< X1 <0.5|X2=0.75) 3. 求条件期望值E(X1|X2)及条件变异数V(X1|X2) 4. 验证EE(X1|X2)=E(X1)=1/3，以及V(X1)=E[V(X1|X2)]+V(E[X1|X2])=1/18 5. 试求X1与X2的共变数与相关系数 八、[15%]某地区丈夫所得(X)与妻子所得(Y)的联合机率如下 X 10 15 20 Y 5 0.1 0.1 0 10 0.2 0.2 0.2 15 0 0.1 0.1 注：已计算得知E(X)=15，V(X)=15，E(Y)=10，V(Y)=10 1.试求f(X|Y=10)的条件机率及求E(X|Y=10)，V(X|Y=10)，并解释与E(X)，V(Y)差异的 原因。 　　2.丈夫与妻子所得的关系如何？程度如何？ 　　3.现政府对丈夫与妻子所得分别课税如下： 　　　　　　　　　　　　T1=0.2*(X-5)，T2=0.1*Y 试求政府的平均税收与税收变异数 4.令S=X+Y，T=T1+T2，试求Cov(S,T)。 --

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