课程名称︰数理金融导论 课程性质︰数学系选修 课程教师︰韩传祥 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期︰2012年12月10日 考试时限：12:20 - 13:00，共40分钟 是否需发放奖励金：是 背景介绍：因为期中考大家考得不甚理想，所以教授就出了这份小考题目， 题目和期中考的题目很类似。 其中，期中考第二题答对15分以上的同学需要做第二页题目， 　　　其他同学做第一页题目。 试题 : Page 1 Quiz: Introduction to Mathematical Finance 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2012/12/10 [Notation:W_(t≧0) is an one-dimensional Browian motion.] Total points:35. 1. Prove that (W_t)^2 is a submartingale by two approaches: 　(a) Definition: Show that E{(W_t)^2 | W_(0≦u≦s)} ≧(W_s)^2. 　(b) Ito's Lemma: Compute d(W_t)^2 and use that its drift term coeficiente is 　　　positive. 2. (Stochastic Differential Equation, SDE) 　(a) If the SDE d(S_t) = (α_t)dt + (β_t)d(W_t) =0 for each t≧0, show that 　　　α_t = β_t = 0 for each t≧0. 　(b) Solve the Black-Scholes SDE 　　　d(S_t) = μ(S_t)dt + σ(S_t)d(W_t), S_0 = x. 　　　And what are the mean and variance of S_t? 　(c) Solve the following sde, 　　　d(S_t) = (μ_t)(S_t)dt + (σ_t)(S_t)d(W_t), S_0 = x. 　(d) Solve the following mean-reverting SDE, 　　　d(r_t) = α(m - r_t)dt + σd(W_t), r_0 = x. 　　　And what are the mean and variance of r_t? 　(e) Solve the following sde, 　　　d(r_t) = α(m_t - r_t)dt + (σ_t)d(W_t), r_0=x. Page 2 Quiz: Introduction to Mathematical Finance 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2012/12/10 [Notation: W_(t≧0) is an one-dimension Brownaion motion.] Total Points: 35. 1. Prove that (W_t)^2 is a submartingale by two approaches: 　(a) Definition: Show that E{(W_t)^2 | W_(0≦u≦s) } ≧(W_s)^2 　(b) Ito's Lemma: Compute d(W_t)^2 and use that its drift term coeficiente is 　　　postiive. 2. If the SDE d(S_t) = (α_t)dt+(β_t)d(W_t) = 0 for each t≧0, show that α_t= 　　β_t = 0 for each t≧0. 3. 若X_t是下列随机微分方程的解 　　　d(X_t) = (μ(X_t) + μ')dt + (σ(X_t) + σ')d(W_t), X_0 = 0 且令S_t = exp{[μ-(σ^2)/2]t +σ(W_t)}。 　1. 推导出(S_t)^(-1)所满足的随机微分方程式。 　2. 证明d{(X_t)[(S_t)^(-1)]} = [(S_t)^(-1)](μ'-σ'σ)dt + σ'd(W_t). 　3. 推导出X_t的解。 --

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