课程名称︰工程数学 课程性质︰选修 课程教师︰陈文进 开课学院：电资 开课系所︰资工 考试日期（年月日）︰2011/05/02 考试时限（分钟）：170 是否需发放奖励金：是! （如未明确表示，则不予发放） 试题 : (1) (10%) 曲线r(s)以弧长s为参数, r'=dr/ds, 求证 (r', r'', r''') = κ^2 τ. (2) (15%) 求曲线 r(t) = [acost, asint, bt] 在 t = 0 点之T(tangent), N(normal), B(binormal), κ(curvature), τ(torsion), 及密接(osculation)平面方程式. (3) (10%) 在曲面 xyz = 1 上, 求平行於平面 x + y + z - 5 = 0 之切平面方程式. (4) (15%) 曲面S: r(u, v) = [u + v, u - v, 2uv] (u, v为实数) (i) 当曲面参数 u = v 时, 求曲线 u = 0 到 u = 1 间的弧长. (ii) 求曲面上, u^2 + v^2 ≦ 4 所定义之区域的面积. (5) (15%) f(x y) = xy (i) 试证 f 在点 (a b) 可微分, 并求其微分 Df(a b). (ii) 利用(i)之结果, 求曲面 z = xy 在点 (2, 1, 2) 之切平面. (iii) 利用 gradient 之方法, 重作(ii). (6) (10%) 求 ∫sin(x^2)dxdy, 区域 D 为(0, 0), (1, 0), (1, 1)三点所围成的三角形. D (7) (10%) 求∫∫(z^2 - y)dzdx + (x^2 - z)dxdy, S 其中 S 为 旋转面 z = 1 - x^2 - y^2 在 0≦z≦1 部分的外侧. (8) (15%) F(x, y, z) = [x^2 - yz, y^2 - zx, z^2 - xy] (i) 是否存在 f(x, y, z) 使得 F(x, y, z) = ▽f(x, y, z) ? (ii) 若(i)为是, f(x, y, z) = ? (iii) 求 ∫(x^2 - yz)dx + (y^2 - zx)dy + (z^2 - xy)dz, C 其中 C: r(t) = [acost, asint, bt], 0≦t≦2π # 有用公式: ∫(a^2 + u^2)^1/2 du = u/2 * (a^2 + u^2)^1/2 + a^2 /2 * ㏑(u + (a^2 + u^2)^1/2) + C --

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