作者liltwnboiz (TCL)
看板NTU-Exam
标题Re: [试题] 99上 王振男 微积分乙上 第五次小考
时间Sat Dec 18 00:22:06 2010
※ 引述《kf40410 (Ed)》之铭言：
课程名称︰微积分乙上
课程性质︰必带
课程教师︰王振男
开课学院：医学院
开课系所︰医学系
考试日期（年月日）︰2010/12/14
考试时限（分钟）：25
是否需发放奖励金：是
1. Test convergence for
∞ lnx
∫─────── dx , p>0 (分情形讨论)
ｅ (1+x^2)^(1/p)
lnx lnx
sol> Let f(x) = ─────── , g(x) = ────
(1+x^2)^(1/p) x^(2/p)
f(x) x^(2/p) 1 lnx
lim ── = ─────── = 1 , and ──── < ──── for any x > e
x→∞ g(x) (1+x^2)^(1/p) x^(2/p) x^(2/p)
∞ 1 ∞ 1nx
(1) When p > 2, =>∫ ──── dx diverges => ∫ ──── dx diverges
ｅ x^(2/p) ｅ x^(2/p)
∞ lnx
=> ∫ ─────── dx diverges.
ｅ (1+x^2)^(1/p)
∞ lnx ∞ ∞
(2) When p = 2, ∫ ──── dx = ∫ lnx d(lnx) = (1/2)(lnx)^2 | diverges
ｅ x^(2/p) ｅ ｅ
∞ lnx
=> ∫ ─────── dx diverges.
ｅ (1+x^2)^(1/p)
∞ lnx 1 ∞
(3) When 0 < p < 2, ∫ ──── dx = ──── ∫ lnx d{x^[(-2/p)+1]}
ｅ x^(2/p) (-2/p)+1 ｅ
1 ╭ ∞ ∞ ╮
= (────)│(lnx){x^[(-2/p)+1]} | - ∫x^(-2/p+1)(1/x) dx │
(-2/p)+1 ╰ ｅ ｅ ╯
converges converges
lnx 1/x 1
for lim ─── = lim ─── = lim ─── = 0 (L'Hopital's Rule)
x→∞ x^α x→∞ αx^α x→∞ x^α (α > 0)
∞ lnx
=> ∫─────── dx converges.
ｅ (1+x^2)^(1/p)
(这题真是杀死我一堆脑细胞....找不到comparison 竟然只能暴力解... Orz)
2. Test convergence for
(π/2) √(sinx)
∫ ──── dx
０ x
sol> √(sinx) √(sinx/x)
──── = ───── < 1/√(x) for any 0 < x ≦ π/2
x √(x)
(Let f(x) = sinx, According to the Mean Value Theorem, for any
0 ≦ a ≦ π/2, there exists a number 0 < c < π/2 such that
sina - sin0
────── = cos(c) < 1 => (sinx/x) < 1 => √(sinx/x) < 1)
a - 0
(π/2) (π/2) √(sinx)
∫ 1/√(x) dx converges => ∫ ──── dx converges.
０ ０ x
感想: 如果考试的时候能写出来就好了 哭哭
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◆ From: 140.112.4.200
※ 编辑: kf40410 来自: 140.112.4.200 (12/14 13:06)
1F：→ ALegmontnick:done 12/14 13:55
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※ 编辑: liltwnboiz 来自: 114.24.147.154 (12/18 00:49)
2F：推 ALegmontnick:done 12/18 09:13
3F：推 ouanonym :哇你太夸张了"o" 卷到不行耶 连详解都PO 推强者同学 12/18 21:11
4F：→ liltwnboiz :会po详解没用阿 囧 我宁愿考试的时候写得出来... 12/18 21:30