课程名称︰微积分乙下 课程性质︰共必修 课程教师︰蔡聪明 开课学院：医农生科公卫 开课系所︰ 考试日期（年月日）︰2010/06/22 考试时限（分钟）：120 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : 1.判断以下无穷级数的敛散： (15分) ∞ n ∞ 10^n (i) Σ (-1)^n────── (ii) Σ ────── n=2 ㏑n n=1 (n+1)4^2n+1 ∞ n^2+1 (iii) Σ (──────)^n n=1 2n^2+1 ∞ x^n 2.(i)证明： Σ ───── 对所有的实数x都收敛。 (5分) n=0 n！ x^n (ii)再证明： lim ───── = 0, 对於所有 x 属於 R. (5分) n→∞ n！ 3.求算下列函数的一阶偏微分： (20分) x (i) f(x,y) = xe^y/x (ii) g(x,y) = ∫ cos(t^2) dt y dz dz 4.设 z = x^2y^3 , x = scost , y = ssint ， 求 ── 与 ── 。 (20分) ds dt _______ 1 4 3 2√(9-x^2) 5.求积分：(i)∫(∫ e^x^2 dx)dy ， (ii)∫ ∫ sin(x^2+y^2)dydx。 (20分) 0 4y -3 0 ∞ __ ∞ 6.已知∫ e^-x^2dx = √π/2 ， 求机率积分：∫ x^2e^-x^2 dx。 (20分) 0 0 7.求曲线积分 ∮ (e^x-x^2y)dx + (e^y+xy^2)dy ， 其中C为圆 x^2+y^2 = 25。 (15分) c 8.近代科学之父伽利略(Galileo)说：「自然之书是用数学语言写成的，不懂数学就读 不懂这本无字天书。」他利用数学与「假说─演绎─实验法」来研究「自由落体」的 运动现象，揭开运动现象之谜，也打开近代科学之门。请你论述他的研究过程。(注： 伽利略的时代还没有微积分，你可以使用微积分来论述。数学作文要精简扼要、把握 重点，条理井然，层次分明。) (20分) --

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