课程名称︰线性代数 课程性质︰必修 课程教师︰陈文进 开课学院：电资院 开课系所︰资讯系 考试日期（年月日）︰980115 考试时限（分钟）：150分 是否需发放奖励金：是 （如未明确表示，则不予发放） 试题 : ┌ x ┐ ┌ 2x y + 3z ┐ 1. 线性变换T:R^3→R^3, T(│ y │)=│ x + 2y - z │, A是R^3中 └ z ┘ └ 3x + 2y + 2z ┘ x^2+(y-3)^2+(z+2)^2 ≦ 9 所定义之球, 求 T(A)的体积 (10%) 2. 设V是R^3中平面 x+y+z = 0 (a)求V之投影矩阵 (b)求点(2,1,1)在V上之投影点 (16%) 3. 向量空间 P2 = { a+bx+cx^2 | a,b,c 属於R } 中两向量f(x), g(x) 1 之内积为 < f(x)‧g(x) > = ∫ f(x)g(x)dx, 已知 {1,x,x^2}为一组基底 -1 (a)用Gram-Schmidt法找出P2之一组 orthonormal 基底 {u1,u2,u3} (b)将f(x) = 1+x+3x^2 写成 u1,u2,u3 之线性组合 (16%) 4. 试证明下列两叙述或给出反例 (14%) (a)x是矩阵A之eigenvalue λ 的 eigenvector, x也是矩阵B之eigenvalue μ 的 eigenvector, 则x会是A+B的eigenvector (b)λ是A的eigenvalue, μ是B的eigenvalue, 则λ+μ是A+B的eigenvalue ┌2 2 0┐ 5. 若矩阵 A=│8 2 a│相似於对角矩阵Λ (即存在可逆矩阵P使得(A^-1)AP=Λ) └0 0 6┘ 试求实数a与矩阵Λ及P之值 (15%) 6. 据调查某地区2000年时就业人口占4/5, 失业人口占1/5, 往後每年就业人口中 有 1/20 会失业, 失业人口中有 3/4 会找到工作, 试用 eigenvalue 方法求 n年後(即第200n年)就业人口和失业人口各占多少 (14%) 7. 试将下列二次曲线方程式用 eigenvalue 的方法化为标准型 (15%) 3x^2-10xy+3y^2+16(√2)x-32 = 0 --

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