※ [本文转录自 Physics 看板 #18lGiNA9 ] 作者: zweisteine (圣人见微以知萌) 看板: Physics 标题: Re: [问题] 还是想不通... 时间: Tue Sep 2 17:44:53 2008 ※ 引述《Qubit (逼巴你个隆地咚啊)》之铭言： : 请问四维空间座标里 : 第四个基底是时间？ : 还是无法想通耶 : 为什麽第一二三个基底 : 都是空间(x,y,z) : 为什麽第四维就是时间 : 而且用三维的眼光来看二维 : 其实也可以几乎同时在一个地方 : 但却不需要用到时间来描述 : 为什麽四维就需要了呢 先花一分钟想一下这个问题： 为什麽相对论提出来之前没有人讲过时空这个东西？ 为什麽牛顿力学一样有时间的概念， 却没有人说它是四维时空？ 座标系是人定的， 所以物理定律不会受到x轴往哪个方向而改变。 当我们把某个物理量用某座标系的数值来表示的时候， 这个物理量会在座标系上有某种对称性。 所以我们利用向量来描述这些物理量， 利用线性空间的对称性来满足物理上的对称性。 牛顿力学的架构，就是这些物理量有三维空间的旋转对称： 以位移来说， 座标系转一个角度，分量虽然会改变， 但是大小不会改变。 也就是存在一个不变量ds^2=dx^2+dy^2+dz^2， 这时我们会说位移向量在三维空间旋转下协变(covariant)。 另外速度、加速度、力这些物理量也全部都是用同样的方式变换， 而且也都有类似的不变量(就是速率、加速度的大小、力的大小)。 以数学上的说法来说就是牛顿力学的架构在SO(3)的变换下具有不变性。 所以时间是和空间无关的另一个物理量，就像温度一样。 当然可以定义一种五个分量的东西，像是(x,y,z,t,T)， 在数学上这东西当然是R^5里面的向量， 但是就像前面所说，物理上使用向量就是因为这些物理量有某些特殊的对称性， SO(3)xO(1)xO(1)并没有比SO(3)多出什麽有趣的东西， 所以除了表示上方便的特殊情形外， 不会用五维空间向量来表示这个物理量。 那麽到了狭义相对论发生了什麽事？ 首先，伽利略变换不再适用，取而代之的是落伦兹变换。 座标系O'沿着座标系O的x轴相对运动的时候， O'的x'座标和t'座标是O座标系x和t的某种线性组合， 先姑且把这种变换叫做x方向的boost， 除此之外当然还有沿着y方向和z方向的boost。 另外可能的座标变换就是牛顿力学中已经有的， 沿着某个轴的三维空间旋转。 然後我们可以发现，我们可以连续做好几个不同方向的boost， 甚至在中间穿插一堆旋转， 然而-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2这个量却永远都是不变(注意时间那项前面的负号)， 情形就像在牛顿力学中，位移的大小不受座标旋转有所改变一样。 接着我们可以发现，把能量和动量凑在一起写成一个四分量的东西(E/c,Px,Py,Pz)， 这东西居然和(ct,x,y,z)用一样的方式变换，而且有一个类似的不变量： -(mc^2)^2=-E^2+(cPx)^2+(cPy)^2+(cPz)^2 (boost到静止座标系，就是E=mc^2这道有名的式子) 实际上，三个方向的boost和三个方向的旋转形成一个群，也就是SO(3,1)， (时间,位置)和(能量,动量)这两个东西在SO(3,1)的变换下存在不变量， 我们可以把这两个量定义成一个特别的线性空间的向量， 在这定义下这个不变量就是这些向量自己和自己内积。 这个线性空间的自由度是4，就是所谓的四维时空。 --

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