\前言\ 话说这一篇，给那些学过高等统计学的人看到一定会笑死，不过我的对象是我们那些没 学过，又不想学的人看的。以前我在学习期望值定理及定义的时候，花了很多时间投资 在上面，虽然在学校的课程中应用很少，但是在我过年赌博的时候，帮了很多忙。自从 前年我的亲人跟我赌过之後，大家都不想跟我玩21点了。因为会计算的人总是讨人厌！ \期望值定义\ 简单来说就是，将所有可能发生的情况先定义出来，再乘上这些情况的"已知"的 机率！然後加总！ 这样子说，是不是太学术了呢？所谓的所有可能发生的情况是什麽？好吧，丢一颗6面 的骰子，你觉得他出现的情况是什麽？一般来说定义是出现1、2、3、4、5、6！这就是 所有可能发生的情况！那麽什麽叫"已知"的机率呢？一般来说我们直觉是每一种情况出 现的机率是1/6！因此你会作以下的计算： 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 21/6 =3.5 这个就是期望值！，好吧！为了让你更明白什麽是所有可能发生的情况，定义出来。这句 话真正的涵义，我们举一个虫骰的例子，你还记得吗？虫骰上面的情况是： 1、2、3、4、5、虫 那请教一下期望值怎麽算！然後你就很厉害的说，简单呀，这样子算麻！ 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 5*(1/6) = 20/6=3.3333 问题来了！ 那是因为你"定义"了 "虫"是"5"点！才可以这样子算！如果我定义 虫是100点！那麽定义上的差别，是不是会影响期望值呢？！！！！ 接下来，另一个问题是"你如何确定" 每一种你定义的结果"确定"都是1/6！，真的 是1/6吗？其实你也不知道道，你只是"直觉地"认为，那是一个很"公正"的骰子，因 此每一面出现的机率"1/6"！看来你可能没有被表过！如果那是一个作弊骰呢？而且 已知道这个作弊骰永远只会出现"虫"，那麽你的期望值还是这样子算吗？也就是事实 上这个"机率"本身就是一个大问题！一般而言，我们在作骰子作分析时，其实已经假 定了，它是一个"公正"骰子！好，那问题就在於"我们有验证"他吗？没有！完全没有！ 那麽要如何验证！我想你很直觉的就会想到这个方法！就是一直丢它，然後记录下来 再来分析！没错，所以我们有以下的公式来验证！ 出现1的次数 / 总丢的次数 = 出现1的後天检验机率 出现2的次数 / 总丢的次数 =出现2的後天检验机率 ...... ......... ........ 出现6的次数 / 总丢的次数 =出现6的後天检验机率 以上就是检验的方法！在来补充说明一点，就是我们一开始直觉上认定为1/6，因为在先 天上我们没有检验，就认定他的机率，因此简称为"先验机率"！然後我们经由实验而得到 的机率我们称为"後验机率"。 所以经由以上的定义！我们举一个表人的例子，之前有人问丢一颗骰子期望值是多少！ 如果有人回答21/6！你可以说他错！因为你的骰子跟人家不一样！6面都是6！哈哈！ 所以你得先跟对方说清楚你所谓的"6面骰子"是什麽东西！我记得我们玩DooM的时候，有 一个6面骰子！有2面空白及1、2、3、4！这样的骰子即使他是公正的骰子！期望值也绝对 不是21/6！ 另外期望值的定义，其实背後有隐含一个很大的假设，他假定"机率"已知！所有"情况"已 知，而且这些事情的机率都很稳定，不会改变！长时间而言，这些"情况"都可以反覆作 而且情况会相同！因此你才可以作期望值！如果这些情况没办法长期被实验，或背复制 其实用期望值定理去作决策其实是"非常危险"的。而且期望值定理还是有他的不合理的 地方！举一个很有名的例，我们称为圣彼得堡的矛盾，他就是在说时用期望值作决策时 你反而不敢作的例子。 假定现在我，跟你对赌这场赌局！你只要给我1000元！接下来，我们来玩丢一个"公正" 的硬币，你只要连续丢出正面，那麽你就可以得到这麽多钱： 2^n 也就是你丢一个正面，拿2元，连续丢2个正面拿4元！连续丢10次你拿1024元... 以此下去，你连续丢出越多，你拿越多！你可以去计算这个game的期望值！答案 是"无限大"！ 好吧即然期望值是无限大！你只需付我1000元即可，但是你却完全 一点都不想跟我玩这个游戏！如果你真的想玩，我开价玩这个game的钱，是1亿台币！ 但是你却完全也不想跟我玩这个game。很奇怪吧！明明你的期望值就是无限大！理论上 无论我开价多少，你应该都会接受的！为什麽你不会想要玩呢？ 也就是期望值定理作的决策，很明白并没有考虑到"输"的风险。那麽一般我们在使用 他的时候，因为结果很确定，而且风险很小，因此我们使用时，都不会怀疑这个定理 因此如果这个决策，无法重覆实行，而且风险很高！事实上我们使用期望值定理作决 策，是一件非常危险的事！已经跟"赌一把"没什麽两样了！这也可以解释为什麽社会 的公司高层仍然是那些"老人" ，而非年青人。年青人学了很多先进的统计决策，理论上 可以计算出作每一件事的期望值，并且利用这个定理去作决策。但是最後？社会的制度 仍然只支持那些"经验"豊富的老人主管！因为有另一套的"经验决策"理论在支持他们！ 说到这里还是收个尾吧...XD。总之期望值还是很好用，只是注意一下他的限制。我敢 保证在桌游里面，期望值理论绝对是100%可用！就这样！看来赚了不少P。 -- 到头来，反覆思考一件事直到逻辑完美，果然才是真正研究。 试误法、模仿法、抄写法最後一直在我的生活发生。 以前的念书观念，即使在现在仍然没有改变。 --

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