下面说明不是我太过高傲或是什麽只是害怕有心人士会这样 先声明我们提供的习题解答可能都有错 写解答是基於大家可以有所参考的答案 欢迎告诉我们有哪里错我们会尽量更正 所以不要背了之後写考卷错了来怪我们 我们也不知道应该要生气还是抱歉才是 希望大家可以顺利的通过各代数大小考 谢谢大家 ===== 以下是勘误XD 3.72 请忽略纸上的答案 以下也许才是正确的 inf i Let I be any ideal in K[[x]]={f(x)=\sum a_i*x | a_i\in K} i=0 By Well-Ordering Principle ,let n={ord(f)|f\in I}, and defined ord(f(x))=N (The defn of ord, just see exercise 3.40) Claim: I=(f(x)) n First, by exercise 3.40,f(x)=x *u_1,where u_1 is an unit. Given g(x)\in I Clearly, ord(g(x))≧ord(f(x)) m Hence, g(x)=x *u_2, m≧n m n m-n Hence,g(x)=x *u_2=x *x *u_2 n -1 m-n =(x *u_1)*u_1 *x u_2 -1 m-n =f(x)*(u_1 *x *u_2)\in (f(x)) then we are done. ==== 3.77 Suppose that \pi,\beta are not relative prime i.e. gcd(\pi,\beta)=d≠1 在这後面加上以下这段 The reason why we can just simplify d≠"1" because In general,if u is an unit and u=gcd(x,y) then (u)=R=(1) since u^(-1)*u=1\in (u),and R is PID Hence,we just simplify it 我解释一下这段 因为在一般的domain里面 gcd不是唯一的! (在Z里面特地调成正的,在polynimail里面特地用monic的那个) 但是在PID里面因为两个gcd只差一个unit(上面:u跟1只差u^(-1)) 所以By Prop.3.41这两个生成的ideal会一样,所以我们把他都当成一样的 再继续下面那几行 ==== 3.37的完整证明 (<=) By division algorithm 2 f(x)=(x-a) *q(x) + cx+d, for some q(x)\in R[x] 2 then f'(x)=2(x-a)q(x)+(x-a) *q'(x)+c Because (x-a)|f' =>f'(a)=0 => c=0 2 =>f(x)=(x-a) *q(x)+d By assumption (x-a)|f => f(a)=0 => d=0 2 therefore d=0 => (x-a) 整除f(x) --

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