※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言： : 昨天我有尝试纯粹从座标处理(只看数字1和0)， : 刚刚看到有人贴AI的解法，似乎有点雷同， : 但是我的作法还是多了一些论证，不是纯土法炼钢硬列举 : 依照正方体空间的点分布，由低到高分别为： : 第一层(100)：只有1个1的点集合，共3点 : 第二层(110)：只有2个1的点集合，共3点 : 第三层(111)：有3个1的点集合，共1点 : 高层点与低层点内积 <= 低层点1的个数 => 本题计算出的内积值 <= 2 : 每层挑2相异点作内积 < 该层点1的个数 : 由上面两条自然限制，可以对本题内积值作进一步分类 : (1)内积值 = 2： : (111)配(110)：3种，状况已用完 : (2)内积值 = 1： : (111)配(100)：3种 : (110)配(110)：3种 : (110)配(100)：6种 : 期望值 = [2*3 + 1(3 + 3 + 6)]/C(7,2) = 18/21 = 6/7 : 思考逻辑对了，其实剩下来就加法问题 : 高中排列组合有一大块是教高中生怎样有系统的分类和计数 : 有系统表示有逻辑、不容易错， : 列举也有分无脑列举和有想法分类列举。 : 就算是无脑列举，也不是每个人真的都有办法万无一失全部列举得出来 : 有些没那麽特殊对称的情况下还是得用上列举， : 所以不必一味排斥。 : 像这题直接从空间几何看可以很简单判断最多有哪些内积需要计算， : 我是比较偏向从空间下手。 : 另外，你一值强调P和C，对本题最终结果只差在分子分母约分2!， : 你用P增加复本，都除以2!，就会和C一样，因为本题不允许相同向量对自己内积 : 固然用P计算好像能帮你避免掉一些前置的分类列举， : 但你还是要扣掉一些状况不是吗？ : 尊重你的作法， : 不过根据题意，样本空间C(7,2)还是一般人比较直接的想法 : ※ 引述《yueayase (scrya)》之铭言： : : https://chatgpt.com/share/695b957c-ffe8-8008-97fb-d5a6cc3ba798 : : 感谢你帮我抓出GPT把计算过程写错了 : : 好喔，你认为我靠GPT解题作秀， : : 我就附上我叫GPT润饰的完整过程 : : 以及讲解给你听: : : 基本上这题，如果对正立方体座标化 : : 很容易可以看出，内积的值决定在P和Q x,y,z分量皆为1的个数 : : 如此一来，我可以这样分析 : : (1) 恰1个分量都为1 : : 共有C(3,1) * (P(4,2) - C(2,1) *2) = 3 * (12 - 2*2) = 3 * 8 = 24 : : 第1个C(3,1)是x,y,z取一个分量 : : 接着把剩下2个分量，视为binary string: 00, 01, 10, 11 : : 因为P、Q相异，所以我们可以把这4个取出2的相异的(用排列) : : 然後要避开有其中1位同时为1的，这可以从剩下2分量，取1个分量， : : 然後最後一个分量可以有 第一个为0，另一个为1，或第一个为1，另一个为0，共2种 : : 举例: x分量都为1 : : P Q (y,z)可以从(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)：选2个不同的当作P Q的剩下2个分量 : : 像是: : : P(1, 0, 0) : : Q(1, 0, 1) : : 但这要排除像是这样: : : P(1, 1, 0) : : Q(1, 1, 1) : : 因为这组会让内积为2 : : 但这样算就等同把 : : P(1, 0, 0) Q(1, 0, 1) : : 和 : : P(1, 0, 1) Q(1, 0, 0) : : 视为不同的 : : 如此一来，样本空间不应是C(7,2)，而应该是P(7,2) : : (2) 内积为2 : : 这反而比Case (1)单纯，只需要这样算: C(3,2) * 2 = 3 * 2 = 6 : : 理由: : : 从x,y,z选2个分量，指定他们为1，放进P、Q对应位置 : : 因为希望P、Q相异，所以一样0和1的指定有2种选择 : : 例如: : : (1, 1, 0) => P : : (1, 1, 1) => Q : : (1, 1, 1) => P : : (1, 1, 0) => Q : : (3) 内积为3 => 必须要P、Q都是(1,1,1)，但题目要求取出相异两点，所以不可能 : : 所以期望值就是: : : 24/P(7,2) * 1 + 6/P(7,2) * 2 : : = 24/42 * 1 + 6/42 * 2 : : = 4/7 * 1 + 1/7 *2 : : = 4/7 + 2/7 : : = 6/7 : : 答案无误 : : 这也给我们一个教训: : : 不要相信AI的算术能力 : : AI的算术往往会有奇怪的地方 : : 还有就是: : : 的确啦，我这种解法还不够漂亮 : : 的确不是最佳解 : : 但这应该已经是比较能够平民化， : : 靠着做一般参考书基本题，想到的快速解法了 : : 很多老师教排列组合和机率的时候 : : 往往讲不清楚: 为什麽这时候样本空间要用排列? 为什麽这时要用组合? 为什麽都可以? : : 这题就是最好的示范: : : 如果你没像最佳解那种想法，使用C(7,2)当样本空间， : : 就会像很多市面上的解答，和网路解题老师的答案 : : 要把情况分的很多，少考虑一种就GG了~~~ : : 如果因为计算错误就认为这个想法错... : : 其实这也透露出读者的理解力在哪... : : 说真的，我承认我的文字表达能力不好， : : 所以会用GPT修饰我的文字，希望能简短好懂一点 : : 我那时只检查他有没有把我的语意和逻辑弄错 : : 没有细看GPT算术有没有写错是我的疏失 : : 但这解法基本上方向和手段都正确无误，且不复杂 : : 如果有人没办法理解，记得去复习高中排列组合和机率吧 : : 因为我的过程都是基础题用到的 我理解您的意思， 也知道您的解法有做到有系统， 并且不只是单纯硬列举。 我前面提到P 和 C， 并不是在讨论哪一个「比较好」， 也不是否定用 C 当样本空间的直觉作法。 我真正想强调的，其实是一个排列组合解题时的常见误区（尤其对初学者）： 很多时候，学生会先入为主地想： 「这题应该用 C 还是 P」， 然後尝试用自以为合理的方式硬凑乘法或加法。 这种方式容易让人没有真正理解题目结构， 导致出错不知道关键点， 也难以从例题中获得成长。 我认为刚开始学理想的做法(特别是排列组合比较不在行的)， 应该是先列举部分情况、观察规则与结构， 再思考使用哪种策略能系统化、减少错误、兼顾效率。 以这题为例，我从「机率 × 报酬」的期望值角度出发， 因此选择最後用 P，使得事件扣除方法简单、单纯。 但我也同意， 从内积总和或总次数出发， 用 C(7,2) 的确更直观，也符合多数人的思路。 我认为核心重点在於： 这些解法的产生， 并非一开始就先决定「应该用 P 还是 C」， 而是先观察列举结果，再依照结构与过往经验选择策略。 这个过程在大多数题目中对大多数不够强的人是必须的， 除非你对题目非常熟悉，才能直接跳过。 举个对比例子： 114 年学测数 A 单选第 3 题： 某校举办音乐会，包含钢琴表演5个、小提琴表演4个、歌唱表演3个 等三类表演共12个不同曲目。 该校想将同类表演排在一起，且歌唱必须排在钢琴之後或是小提琴之後。 试问这场音乐会可能的曲目排列方式共有几种？ 这题就是很经典的那种把某一群视为一类(就是相邻的先绑在一起)， 先把组别照要求排列後， 再各自做直线排列 若是我，我可能会这样解: C(2,1) * 2! * 5! * 4! * 3! 因为第一位只要排钢琴或小提琴，即可满足"歌唱必须排在钢琴之後或是小提琴之後" 接着就剩下一个与歌唱在剩下两位直线排列 剩下的是基本例题都有的，不赘述 要分类成符合: 歌唱必须排在钢琴之後或是小提琴之後 我想方法每个人都不一样 例如也可用扣的，扣除歌唱排在第一组 甚至可以直接穷举 重点在於理解题目结构， 然後选择清楚、有效率的方法解决，而不是先决定公式或方法。 因此，我的主要想法不是在比较谁的解法好坏， 而是想提醒： 在排列组合与机率题中， 方法的选择应该基於对题目结构的观察， 而非先决定用哪个公式。 只要分类清楚、容易理解、错误率低，任何方法都是合理的。 我分享这些，只是个人的学习心得， 希望对後进学生在学习排列组合时有所帮助， 避免重蹈过往一些容易踩到的学习雷区... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 93.152.210.169 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1768121125.A.5EB.html ※ 编辑: yueayase (93.152.210.169 美国), 01/11/2026 16:51:04 ※ 编辑: yueayase (93.152.210.169 美国), 01/11/2026 17:11:09 您能理解就好 其实这题用内积数总和，我觉得是最漂亮的 机率x报酬 虽然事後诸葛似乎也可以用那些优化的方式反过来解释 但以我自己的能力，第一时间不会这样想 ※ 编辑: yueayase (93.152.210.177 美国), 01/11/2026 20:32:19