作者hotplushot (热加热)
看板Math
标题Re: [代数] Hungerford代数上的习题
时间Thu Mar 17 01:06:10 2011
※ 引述《herstein (翔爸)》之铭言：
: ※ 引述《hotplushot (热加热)》之铭言：
: : 先述说一个定理
: : Thm
: : If F is a free abelian group of finite rank n and G is a nonzero subgroup of F
: : then there exists a basis {x(1),...,x(n)} of F,an integer r(1≦r≦n)
: : and positive integers d(1),...,d(r) such that d(1)|d(2)|...|d(r)
: : and G is free abelian with basis{d(1)x(1),...,d(r)x(r)}.
: : 1.
: : Let G be a finitely generated abelian group in which no element(except 0)
: : has finite order.
: : Then G is a free abelian group.(提示:使用上面定理)
: : 我的想法:
: : 第一步 建造一个abelian group F使其有basis,自然F就是自由群
: : 第二步 证明G为F的子群 根据上述定理 自然G就是自由交换群
: : 请问这想法对吗?
: : 如果对 要怎麽更确切写出来(如果对 我觉得第一步比较难写出来)
: YES. Let X={x_1,...,x_n} be a set of generators of G.
: Consider F(X) and the natural map f:F(X)-> G. Apply the theorem
: to ker f. Here F(X) is the free abelian group generated by X
: and the map f is the epimorphism given by x_i->x_i.
我把版友的提示写看看
http://tinyurl.com/4l5b2lc
请大家看看有没有什麽错误的地方
不过好像没有用到定理.....
: : 2.
: : The direct sum of a family of free abelian group is free abelian.
: : 这题暂时没什麽头绪
: : 请版友能给予协助 感激不尽
: Can you find a basis for the direct sum? if you have a basis for
: each member of the family. This is my idea but you can have different idea.
: 我的基础代数忘的差不多了~~所以仅供参考~~~XD
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◆ From: 111.252.196.205
※ 编辑: hotplushot 来自: 111.252.196.205 (03/17 01:18)
1F：推 herstein :ker f为什麽等於0?这就是重点了~~ 03/17 13:10
2F：→ herstein :再者你的生成元x_i,x_j可能存在着关系 03/17 13:12
3F：→ herstein :假如G是由a生成的 {a,2a}还是可以生成G 03/17 13:13
4F：→ herstein :这就是为什麽你要用定理去说ker f是甚麽 03/17 13:13
5F：→ herstein :所以ker f一定是0吗? 03/17 19:16
6F：→ herstein :仔细想想就可以知道ker f大概会长怎样... 03/17 19:16
7F：推 xcycl :generating set 并没有 {a, 2a} 的问题 .. 03/17 19:26
8F：→ xcycl :更正, free generating set 03/17 19:27
9F：→ xcycl :谈生成有两种情况，一个是拿群里头的元素生成 03/17 19:28
10F：→ xcycl :另一个是拿一个 set 来生成 03/17 19:28
11F：→ xcycl :free algebra 是取集合生成, F{a, 2a} != F{a} 03/17 19:30
12F：推 herstein :楼上的~~我说的是G的生成不是F(X) 03/17 19:35
13F：→ xcycl :ohoh, sorry 03/17 20:06