题目如果限制只能用1~9各一次的话那就的确是"唯一"解 不然就如allen大说的爱怎麽凑都可以 在讲解之前我想先说一句话： 国中还是高中数学绝对有教些简单的数论(倍数规则)！ 如果不是还没学到的话 那肯定是太久没用忘光了嘛(无奈摊手) ※ 引述《allen65535 (剧情急转直下)》之铭言： : ※ 引述《how200284 (先不要问我，我还没想到)》之铭言： : : 有一个九位的数字 : : 第一个数字为1的倍数 : : 前两个数字为2的倍数 : : 前三个数字为3的倍数 : : 前四个数字为4的倍数 : : 以此类推... : : 世上答案有两种 : : (如有OP请通知，我自D) : : ============================防雷页============================ : : Ans:147258369 & 381654729 : : 真正我要问的是: : : 为什麽只有两种 : : 有证明吗? : : 还是纯巧合? : : (本人初PO，各位大大请不要嘘太用力) : : 谢谢 : 我推出来只有一解耶...过程有点冗长也许不是最佳解 : 首先我想这题目应该加上一个条件是1到9的每个数字都只能用一次 : 要不然像222456564这种答案也是符合条件的 : 再来，既然1到9每个数字只能用一次 : 那在第2、第4、第6、第8位除以偶数的时候，个位数一定要是偶数 : 因为个位数如果是奇数，除以偶数一定不能整除 : 也就是说2、4、6、8一定要放在2、4、6、8位 : 那麽1、3、5、7、9就只能放在1、3、5、7、9位了 : 然後注意5这个数字有特殊性 : 从4位数要拓展到5位数的时候，会是这样(oooo x 10 + n) : oooo是前4位数，n是第5位数 : 其中(oooo x 10)一定是5的倍数，也就是说n本身也要是5的倍数 : 1到9的数字中5的倍数就只有5了，所以5一定要放在第5位 5的倍数规则：尾数必是5或0 既然是1~9那当然只能是5了 可以先将5放中间：xxxx5xxxx : 利用类似的算式，我还发现其他两个规则 : 一个是第4位和第6位加起来一定要等於10 : 另一个是第7位和第8位这两位本身要是8的倍数 : 我总觉得9应该只能放在第9位不过我推不出来，所以算了 XD 9的倍数规则：所有位的数字加起来是9的倍数 1加到9=45已经是9的倍数，所以最後一位是什麽数字都没有关系 : 先解释第4位和第6位加起来为什麽一定要等於10 : 先假设第4位是2n，第6位是2m : 因为之前知道第4位和第6位一定是偶数所以可以这样假设 : 所以前6位是这样 10 x (10 x (10 x ooo + 2n) + 5) + 2m : 化简一下 1000 x ooo + 200n + 50 + 2m : 现在检查这一串东西要是6的倍数，把6的倍数先减掉 : 因为ooo是3的倍数，所以1000 x ooo可以写成500 x 2ooo : 2ooo一定是6的倍数，所以这一项可以不用管 : 200n中的198n也一定是6的倍数，所以200n剩下2n : 同理50剩下2，2m还是2m : 现在这一串就剩下 2n + 2 + 2m，化简 2(n+m+1) : 2(n+m+1)要是6的倍数，所以n+m+1要是3的倍数 : 这里只有两种可能，n和m等於2和3或1和4 : 所以第4位和第6位的2n和2m只能等於4和6或2和8 这边的想法不错 是正确的 不过其实可以这样想：3的倍数规则：所有位数字和是3的倍数 前三位已经是3的倍数了所以乘上1000就是6的倍数不管他 後三位中间是5，而且剩下两位必须是"不同"的偶数(所以和不会是4和16) 所以这两位一定得是4&6或2&8的组合 : 再来解释第7位和第8位这两位本身要是8的倍数 : 到第8位为止可以这样写 10 x (10 x oooooo + n) +m : 这里是假设第7位是n，第8位是m : 化简 100 oooooo + 10n + m : 因为oooooo是6的倍数，所以100 oooooo一定是8的倍数 : 也就得到结论10n + m本身要是8的倍数 : 又已知第7位是奇数，第8位是偶数，所以组合只有以下这几种可能 : 16、32、56、72、96 : 56不行因为5一定要放在第5位，所以剩下其他四种 : 16、32、72、96 复习一下8的倍数规则：末三位是8的倍数(因为1000能被8整除) 因为前六位是6倍数关系所以这8的倍数的百位是偶数 200也可以被8整除，所以重点在第七第八位组成的数字是8的倍数 十位为奇数个位为偶数，暴力搜一下五种组合应该不会嫌麻烦 但注意5的位置已经固定了所以其实可用的组合是16 32 72 96而已 : 值得注意的是，不是要有2就是要有6 : 现在回过头来检查前3位，其实也只是把所有可能列出来 : 这里的第1位和第3位是还可以调换的 : 123、723、129、147、165、765、183、783 : 有5的不行所以剩下 : 123、723、129、147、183、783 到这边其实好像不用那麽麻烦 因为第四位跟第六位的组合只能是4&6或2&8，而第八位不是2就是6 所以第二位不是8就是4了(有玩数读的话应该看得懂为什麽吧) 所以前三位的组合其实很有限：奇偶奇，不能有5，偶数不是8就是4 组合不外乎147 183 189 387 789(第一位跟第三位一样可以互换) 因为第四位跟第六位的组合是4&6或2&8的关系 这时回头配合看第七八位和第二位的组合： 147配16....-><- 183和387不能配32 387和789也不能配72 所以目前可得10组解 183654729 381654729 147258963 741258963 189654327 981654327 189654723 981654723 789654321 987654321 (这边要说明一下为什麽46或28不能互换，复习4的倍数规则：) (末两位为4的倍数，因为100可以被4整除) (所以不管第三位是多少，第四位只能是2或6) : 然後对照刚才推出来第7第8位的四种可能性 : 如果前3位是123，78位只能是96 : 但是46位又只能是46或28 : 所以前3位是123这组就不成立了 : 终於走到最後一步，就是一个一个淘汰了 : 最後剩下两组可能 : 123位是147，456位是258，78位是96，以及 : 123位是183，456位是456，78位是72 : 这里的13位和46位还是可以交换的 : 逐一检查就得到最後的答案只有381654729符合所有条件 : 结束 XD 最後来复习一下7的倍数规则吧，比较复杂： 从个位数起每三个位数用一条线连成一个三位数，再分两组加总算其差 如果差是7的倍数则整个就是7的倍数(因为1001是7的倍数，同理用在13倍数上有用) 有点难懂? 来练习一下吧 假设到七位数为止是1836547，则分为1 836 547，其中1和547一组 836-(1+547)=288 不是7的倍数，因此这组不合 381654729的场合：分3 816 547，816-(3+547)=266是7的倍数！ 剩下的我就不算了，都不是7的倍数 所以只有381654729是唯一解 ^^ -- 题外话：1001=7X11X13，可是11有比较简单的判断法 那就是直接以奇偶数位分组算其差 (这样想，每相邻两组都会一起加1，当後面那组进位时，後面少9前面加1+进位1) (所以两组间的差距永远是11的倍数。同理解释1001的倍数想法) --

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