诚如 ddavid 所说过的，这个问题是一个很标准的赛局理论问题。 要正确理解这个问题，就要知道什麽是纯策略和混合策略。 http://en.wikipedia.org/wiki/Strategy_%28game_theory%29 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%96%E7%95%A5_(%E5%8D%9A%E5%BC%88%E8%AB%96) 先不要管十回合的问题，只考虑一回合，我们追求胜分的期望值就好。 (胜分 = 我方得分 - 对方得分) 首先如 ars1an 在原文的推文中所说，这题没有纯策略解， (这很好证) 而 John Nash 告诉我们平衡点一定存在，所以我们要追求的是一个混合策略。 那麽， 1.胜分是零和，所以最佳策略是 weak Nash equilibrium (顶多保证不败)。 2.最佳策略必不败於任何纯策略 (废话)。 3.若某策略不败於任何纯策略，则该策略不败於任何策略。 (因为任何策略的胜分期望值都是纯策略胜分期望值的加权平均) 4.由 2,3 两点得知，我们只要检查对所有纯策略都不败即可。 先算简单的，若我方出 x 对方出 y， x < y 则胜分期望值为： xy + x(1-y) - y(1-x) = x - y + xy 若 x > y 则反过来： x - y - xy 假设在最佳策略中我方出数字 x 的机率为 p(x)，而对方出 y，胜分期望值为： ∫{0~y} p(t)(t-y+ty) dt + ∫{y~1} p(t)(t-y-ty) dt = ∫{0~1} p(t)(t-y-ty) dt + 2∫{0~y} p(t)ty dt = (1-y)∫{0~1} p(t)t dt - y∫{0~1} p(t) dt + 2y∫{0~y} p(t)t dt = (1-y)∫{0~1} p(t)t dt - y + 2y∫{0~y} p(t)t dt 这时候当然要令 G(y) = ∫{0~y} p(t)t dt，则 = (1-y) G(1) - y + 2y G(y) 我们的目的是找到一个 p 使得上式恒不小於零。 後面的过程我忘了，有一部分可能是凑出来的： 1. G(1) >= 1/2 2. G(y) >= 1/2 - (1/2y - 1/2) G(1) 3. 假设 G(y) >= 3/4 - 1/(4y) 则可满足 2. 4. 假设 G(y) = 3/4 - 1/(4y) → p(t) = 1/(4t^3) when t > 1/3 5. ∫{1/3~1} p(t) dt = 1, 机率分布刚好用完, 剩下 0~1/3 间都是 0 ---- (後来我想起来这里是怎麽算的了 XD 考虑对方使用相同策略的情况，得到 ∫{0~1} p(y) [(1-y) G(1) - y + 2y G(y)] = 0 但是 p(y) >= 0, (1-y) G(1) - y + 2y G(y) >= 0 所以 p(y) = 0 or (1-y) G(1) - y + 2y G(y) = 0 almost everywhere 因为 y < 1/3 时 (1-y) G(1) - y + 2y G(y) > 0, 所以 0~1/3 间 p(y) 都是零 (a.e., 不过没差) 然後再从 1/3 往上逐步逼到 1/(4t^3) ) ---- 所以若 p(t) = 0, when t < 1/3 1/(4t^3), otherwise 则 1. ∫{0~1} p(t) dt = 1, p 是个机率分布 2. G(y) = 0, when y < 1/3 3/4 - 1/(4y), otherwise 3. G 满足 (1-y) G(1) - y + 2y G(y) >= 0 4. 事实上当 y >= 1/3 时 (1-y) G(1) - y + 2y G(y) = 0 而 y < 1/3 时 > 0 5. 也就是说，这个策略和出 1/3 以上任何数字的纯策略打平， 而对出低於 1/3 的任何数字的纯策略则会胜出。 6. 也就是说，这个策略和任何只用 1/3~1 之间数字混出来的策略都打平， 对其他则胜出。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 61.217.110.59 ※ 编辑: isnoneval 来自: 61.217.110.59 (02/08 00:43) ※ 编辑: isnoneval 来自: 61.217.110.59 (02/08 08:09)