※ 引述《brains (不认识)》之铭言： : 甲乙两人在玩一个机率游戏。 : 每一回合里: : 甲和乙各自从[0,1]取一个实数, : 选好後一起公开, 并把自己选的x值输入给随机系统作评判. : 随机系统有x的机率回传"Yes", 有(1-x)的机率回传"No". : 若甲乙都收到"Yes", 则x值较小的一方得1分. : 若一方收到"Yes", 另一方收到"No", 则收到"Yes"的一方得1分. : 若甲乙都收到"No", 则大家都不得分. : 若刚好甲乙都收到"Yes"且彼此的x值相等, 则大家各得0.5分. : 新的回合要取新的x, 不停的比下去, 累积比分, : 在某一定回合(如10回合)後比总分, 分数多方获胜. : 假设甲乙都是绝对理性, : 请问: 他们将采取什麽样的策略才能让自己不败呢? 下有令人厌烦的数学计算,不喜勿入 和原题或许稍有不同,我方考虑最安全的策略, 即寻找我方在敌方最佳策略下的最高期望值 假设取x得1分的机率为y 考虑对方的策略: a. 对方选择无限趋近x而小於x的另一个实数 b. 对方选择1 先解释一下为什麽只有这两个选项: 若存在一数字k使对方选择另一此数字会同时胜过a,b两项 则若k > x,则这个选择必比选项b差 (若要选择大於对方的数字,选择1最大化己方yes机率) 若k <= x,则这个选择必比选项a差 (若要选择小於对方的数字,选则最接近对方的数字最大化己方Yes机率) 如果上面的解释接受的话,那我们来考虑一下在x等於多少时, 应对这两个策略有最高的最低期望值 小弟的数学都忘得差不多了,计算方法有比较繁琐的地方请见谅 a策略中, y = x(1-x) / [1-(1-x)(1-x)] 解释一下,得分的情况是我方回传yes(机率为x)而敌方回传no(机率无限趋近1-x) 样本空间则是双方间有人得分的情况,也就是1-(双方都no的机率) y = x(1-x) / [1-(1-x)^2] b 策略中 y = x 接下来的推论要先屏除x = 1 和 0的情况,不过这不影响,因为这两个选择都是最糟的 选择0时,我方永远没有得分的机会, 选择1时,对方可以选择无限趋近於1的值,造成我方得分机率无限小 选择a策略的条件是: x > x(1-x) / [1-(1-x)^2] -> [1-(1-x)^2] > (1-x) -> (1-x)^2 < x -> x^2 - 3x + 1 < 0 -> (x - 3/2)^2 < 5/4 -> -根号(5/4) < x - 3/2 < 根号(5/4) -> 3/2 - 根号(5/4) < x < 3/2 + 根号(5/4) 後项大於1,和题目要求的范围不合 故可知当x > (3-根号5) / 2 时, 对方会选择a策略,否则会选b策略 在敌方选择b策略的区间,我方的最大期望值很单纯,就是(3-根号5) / 2 (y=x) 若在敌方选择a策略的区间有更好的结果,则 x(1-x) / [1-(1-x)^2] > (3-根号5) / 2 -> x(1-x) / (2x - x^2) > (3-根号5) / 2 -> (1-x) / (2-x) > (3-根号5) / 2 -> 2-2x > (3-根号5)(2-x) -> 2*根号5 - 4 > (根号5-1)x -> x < 2(根号5 - 2)/(根号5-1) -> x < (根号5 - 2)(根号5 + 1) / 2 -> x < (3-根号5) / 2 这和前面的结果矛盾(请看前面我们得到的结论) 故我方没办法在敌方选择a策略的区间中找到更佳的策略 故得结论,若我方选择(3-根号5) / 2,则无论对方之策略, 我方的得分期望值皆可保持(3-根号5) / 2 是在这个游戏中最安全的策略 若有错误请指正 --

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