作者euleramon (界王展开式)
看板Inference
标题Re: [问题] 重力火车
时间Wed Aug 12 01:35:02 2009
※ 引述《Nick12101 (阿楷)》之铭言：
: 假设现有一火车
: 这火车可穿越地底，直达地球的另一端
: (请把技术问题与空气磨擦力因素排除在外)
: 例如从台北到亚松森
: 请问要花多少时间呢(只运用地球重力当速度)
现在高中不知道还有没有教简谐运动 @@"...
回答这问题可以假设地球内部结构组成为均匀，
则 地球内部的重力加速度为
g2 = GMr/(R^3) , 其中 R 为地球半径, r是距离球心的长度(变数), G为万有引力常数
，上述重力 g2 可用三维积分证明。
另外，地球表面重力加速度 g = GM/(R^2) = 9.8m/(s^2)
因此 g2 = 9.8r/R m/(s^2)
故 g2 正比於 r ，所以跟弹簧运动一样，是简谐运动，所以从地表到中心的时间，
等於中心到另一端地表的时间；还有想到简谐运动，就要联想到 x(t) 会与三角函数有关
，这点先记起来。
假设从地表到中心半径上某点的位移函数为 x(t)，则 x'(t) = v(t) (速度) ,
x''(t) = v'(t) = a(t) (加速度)
已知 g2 = 9.8r/R
故 a(t) = 9.8( R - x(t) )/R
即 x''(t) = 9.8 - 9.8/R*x(t)
x(t)该是什麽函式，才会让上式成立？
答案会与三角函数有关，用 sin 或 cos 去验算猜看看
会发现 x(t) = A cos(√(9.8/R)t) + R
但要让 x(0) = 0,且 t 从 0 慢慢增加时 x(t) 为正值
所以 A = -R
故 x(t) = -R cos(√(9.8/R)t) + R
当 t 从 0 慢慢增加时 ，使得 x(t) = R 就是火车移到中心点的位移，
因此 cos(√(9.8/R)t) = 0
√(9.8/R)t = π/2 , R 用 6371000 公尺 代入
得 t = 1266.5 (秒)
2t/60 = 42.2 (分钟)
故到达时间约 42.2 分钟 #
另外，
v(t) = x'(t) = R*√(9.8/R) sin(√(9.8/R)t)
故 火车移到中心的速度(也是最大速度)
v(1266.5) = R*√(9.8/R) = √(9.8R) = 7901.6 m/s
此速度没达光速，不用考虑相对论问题...
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◆ From: 61.228.137.203
1F：推 likicy:虽然看不懂(因为是N年前所学的东西)，但是还是推一个！ 08/12 08:28
2F：推 xak:强人 08/12 12:14
3F：→ euleramon:有写错..更正一下 08/12 13:08
※ 编辑: euleramon 来自: 60.248.161.28 (08/12 13:21)
※ 编辑: euleramon 来自: 60.248.161.28 (08/12 13:31)
4F：→ euleramon:修改好了，有错请指正... 08/12 13:32
※ 编辑: euleramon 来自: 60.248.161.28 (08/12 13:35)
5F：推 Nick12101:bingo! 08/17 21:57
6F：推 motai:为什麽我第一行看成.... 09/06 16:54
7F：→ motai:现在高中不知道还有没有做简谐运动 @@"... 09/06 16:54