※ 引述《EIORU ()》之铭言： : 有一个拿奖金的比赛 : 先丢一个铜板 : 在掷出反面前 若连续丢到x次的正面 : 就可以获得"2的x次方"元的奖金 : 例如 : 丢的状况 奖金 : 反 1 : 正反 2 : 正正反 4 : 正正正反 8 : ... ... : 那麽 你愿意付出多少钱当报名费来玩这个游戏呢? : (也请从主持人的方面想 在主持人能赚到最少的情况下) 这个问题从机率上来看是非常简单的期望值算法 每一种奖金发生的机会乘上每一种奖金金额 加总之後 会是无限大 意思 不是玩了很多次以後会有一次可以得到无限大的奖金 或是那麽多次奖金总和是无限大 而是[每玩一次]的奖金平均起来都是无限大的奖金 这题令人吊诡的地方就是从数学上可知奖金期望值的确是无限大 但是当大家想像真的拿出钱去玩时 总觉得 什麽平均奖金是无限大 连要有一次奖金是无限大都很难 要很多的资本去玩 也才能获得[一次]很多的奖金 我们从小数目来测试 1.若玩一次要付1元 则只需玩一次就不会亏本(奖金不少於1 但要到无限大很难 ) 2.若玩一次要付2元 平均 2次 才会出现1次奖金2元(该次不亏本) 但玩2次 总付出4元 很容易可以得到3元的奖金(一次正一次反) 总和还是亏 (讲很容易而不是讲期望 因为期望值是2倍的无限多元) 大家可以简单测试 玩4次时 很容易可以得到8元的奖金(1+1+2+4) 不亏本 若玩8次 很容易可以得到20元的奖金(1+1+1+1+2+2+4+8) 小赚4元 3.若玩一次要付1000元 要玩几次以上才会[容易]回本? 最简单想法 玩个1000次 才会有1次 该次奖金回本(1024元) 但玩1000次 共付了1000000元 (2的20方) 很容易得到下列的总奖金 512次1元 + 128次2元 +....+2次128元 +1次512元 +1次(512或1024)元 = 10*512 (算倒楣最後两次都512) 付出1000*1000 玩2048次 : 易得 11*1024元 付 1000*2048 玩4096次 : 易得 12*2048元 付 1000*4096 玩2的1000方次: 易得 1000*(2的999方)元 付 1000*(2的1000方) 玩2的2000方次: 易得 2000*(2的1999方)元 付 1000*(2的2000方) 约(2的2010方)元 约(2的2010方)元 打平 可看到 每次付费(2的10方)元时 约要玩 2的[(2的11方)]次 即很容易打平不亏本 再玩更多次 则赚更多 重点是 我们可看到上述算法[易得]的金额 表示成 A*B的型式OB 随着玩的次数的上升 AB都上升 而付费金额不过是 1000*A的型式 只有一方上升 当玩到 2的(2的(2的(2的(2的(2的(2的10次方)))))))次时 就会开始感觉到 不是只有一次奖金会很大 会平均起来奖金都很大的感觉了 就像极限求法中 A*B / C A B C都趋近超级霹雳大 A*B是易得的奖金 C是次数 = (1个超级霹雳大 乘上 1个超级霹雳大) 除以 1个超级霹雳大 还是 = 1个超级霹雳大 (平均每次玩容易得到的奖金) 以上 是我用 容易 代替 期望 用 很大 代替 无限大 思考之後 觉得这个本来很吊诡不合常理 感觉不太对的数学事实 好像变得还满亲近易人 也没那麽不合常理 的感觉 的方法 不知上述有哪些疏失 还请各位老大指教指教 --

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