作者CRPKT (crpkt)
看板Inference
标题Re: [问题] 一个物理问题
时间Tue Aug 8 14:21:13 2006
※ 引述《supersatan (炽天使)》之铭言：
: ※ 引述《allen65535 (语气生硬，无恶意)》之铭言：
: : 这个问题可以用物理方法解，代数字下去算也算得出来，
: : 可是我总觉得应该可以用很简单的推理得到答案才对。
: : 一些条件：咖啡散热的温度变化是遵循以自然对数e为底的指数函数
: : 奶精的温度是室温
: : 咖啡加奶精以简单的热平衡考虑
简单来说,当我们把室温看成零的时候,
"冷却固定时间"对咖啡温度的作用为乘一个常数k,
而"与室温的奶精热平衡"的作用为乘一个常数c
这两个操作可以交换,所以先加後加是一样的
下面有比较详细的说明
: 这可以用牛顿冷却定律解释
: dD
: ─ = -αD (D(t)是t时刻时的温差，α是比例常数，负号是因为温差是递减关系)
: dt
: 得D(t) = c e^(-αt)
: 给定初始值Do ，得D(t)=Do e^(-αt), t≧0
: 令T(t)为物体在t时刻的温度，Ts为室温，则:
: D(t) = T(t) - Ts , Do = To - Ts , T(t) = Ts + (To-Ts) e^(-αt)
算到这里就可以了,若冷却的时间固定为T,那 e^(-αT) 就是常数,令其为k,
则有 T' = Ts + (To-Ts)*k
再来,热平衡时的温度变化为
T' = (M*s1*To + m*s2*Ts)/(M*s1+m*s2)
= Ts + (To-Ts)* M*s1/(M*s1+m*s2) = Ts + (To-Ts)*c
设 u(x) = x + Ts,
K(x) = kx,
C(x) = cx
则热平衡为 u C u^-1,冷却为 u K u^-1
(uCu^-1)(uKu^-1) = uCKu^-1 = uKCu^-1 = (uKu^-1)(uCu^-1),
所以两个操作可以交换.
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