※ 引述《oodh (oodh)》之铭言： : ※ 引述《allen65535 (语气生硬，无恶意)》之铭言： : : 三个人都考虑的结果 : : 算出来是1/3，也就是输面大的意思 : ^^^^^^^^^^^ : (怎麽算的？) : 1. : 如果你所算的 1/3 : 要表达的是「以上例子，三个人每次只有一个赢」所以是 1/3 : 呃...不是这样算哦，你这种推算法，我举个例子 : 2004总统大选， 有 连宋 扁吕 李敖 三组侯选人(漏了的就算了，sorry) : 因为最後 三组人只有一组当选 所以赢的机率是 1/3 : 这样对吗？ : 你这样算只是「1/(可能结果 计数)」 并非「赢的机率」 : 每种 可能结果 会「发生」的机率 本身就不同，拿他们来平分1 是不对的 不，你的反驳点是错的，因为ABC有对称性。 连宋、扁吕、李敖三组人马不可直算1/3，是因为他们具有各自的独特性而不可 相互代换，然而ABC是可以代换的。如今改成BAC或CAB，并不会因此让算的结果有差 异，因为他们具有完全相等的条件。你的反驳在什麽情况下会成立呢？那就是如果这 个A是个爱台人士，他怎麽样都只会赌台湾，或者说他就是白痴只会赌目前人多的一 边，如此他就具有独特性而不可被代换。 对称性为算机率时非常重要的一个简化手段，只要你能肯定某些事情是对称的， 那它们的机率就必然相同。 不过反驳点虽错，但原题也是有可讨论之处。事实上这个问题并不只是机率与期 望值的问题，当考虑下注者的思考方向时，还必须要用到赛局理论，并不是单纯的机 率题。 首先先最简化，如果每个人都只能下一注，而且他们不知道场中状况（也就是只 能随机赌）。那这题目就可以简化成一般机率，我们可以顺利的使用二项式定理来解 它： C(m, n) = (m!) / (n!(m - n)!) 是在m人中有n个人投某一边的组合数 2^m 则是所有可能性的数量 C(m, n) / 2^m = ((m!) / (n!(m - n)!)) / 2^m 就是m人中有n个人投某一边的机率 而某一边赢的机率便是： (C(m, 0) + C(m, 1) + ... + C(m, (m / 2) - 1)) / 2^m 若m为偶数 （为何除完减1？因为m / 2时是平手） (C(m, 0) + C(m, 1) + ... + C(m, (m - 1) / 2)) / 2^m 若m为奇数 （为何先减1？因为要整除） 当然，我们可以直接从对称性看出两边赢的机率是相同的，不过当然也可以严谨 证明： C(m, n) = (m!) / (n!(m - n)!) = (m!) / ((m - n)!n!) = (m!) / ((m - n)!(m - (m - n))!) = C(m, (m - n)) 举偶数为例，奇数一样： (C(m, 0) + C(m, 1) + ... + C(m, (m / 2) - 1)) / 2^m = (C(m, m), + C(m, m - 1) + ... + C(m, (m / 2) + 1)) / 2^m 正好是另一边赢的机率。 那投某一边期望值怎麽算呢？期望值的算法是每种可能性的机率乘以所获的加总 ，所以不能直接拿1/2来算，而是要这样（以m为偶数举例）： (C(m - 1, 0) / 2^(m - 1)) * (m / 1) 你投某边，剩下全投另边机率 * 赚到全部 + (C(m - 1, 1) / 2^(m - 1)) * (m / 2) + ... 有一个跟你投同边 * 两人平分 + (C(m - 1, (m / 2) - 2) / 2^(m - 1)) * (m / ((m / 2) - 1)) + (C(m - 1, (m / 2) - 1) / 2^(m - 1)) * 1 连你在内刚好一半人，各自收回筹码 （为什麽要用m - 1？因为要算的是其中一人投某边的期望值，也就是这人已经固定 在某一边了，需要考虑的是剩下m - 1个人投哪边） （如果有平手庄家通杀的设定，就把最後一项拿掉） 以有四个人，也就是m = 4为例来算： (1 / 8) * (4 / 1) + (3 / 8) * 1 = 7/8 这才是此命题下的单注期望值，因为小於1所以是亏的。有人会问为什麽会亏呢 ，两边机率不是相等吗？因为机率相等是相等，但是并不代表都是1/2，另外还有一 边完全没人投结果庄家通杀，以及平手的可能。而被通杀当然就亏到了。 但是算到这里，都还是最简化题型。我们稍为扩张一点，每个人可以下不只一注 ，但还是无法看到场内下注情况呢？相信大家可以直觉知道，这跟上面没有不同，每 一注都可以用上面的算法来单独算，算完再加总就好了。 但是只要把可以看到下注情况这限制一放开，就不是这麽回事了，因为赛局理论 将要开始作用。这篇已经太长了，有空的话我另外再写一篇，这篇先到此为止XD -- 「你会死。」不由分说，他被狠狠骂了一顿。 午休时，我拉着他到安静的地方。「你怎麽对着人这样说话呢？」 「他本来就会死，难道他不会死？」他抱怨。 －－预言师 --

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