作者evanzxcv (高密度聚乙烯)
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标题Re: [问题] 飞凤山真的可以看见101吗
时间Fri Sep 28 09:50:52 2007
展望除了与能见度有关外，与地球弧度也有关系，
这就是为什麽就算天气很好，从玉山山顶也看不到富士山的原因。
就拿原po的问题来解释好了，把空气能见度的因素去除，
从飞凤山山顶看不看得到台北101呢？
作示意图如下：
飞凤山
Ｃ
462m |
`-._ 视线
Ａ|
``-.`-._ Ｂ
|
↑ ````/
|
地球/
弧度
| /
6400 | /
km | /
6400km
|θ /
|--/
| /
|/
Ｏ
O是地心，A是飞凤山顶对地面的垂直投影点，
B是飞凤山顶可以看到地面上最远的那一点，C是飞凤山顶。
由於BC是地球弧度的切线，因此BC与OB垂直，
而由三角函数可知，OB=OC*cos(θ)。
目前已知的是AC，也就是462m，还有OA=OB=6400km(地球半径)。
因此6400km=(6400km+462m)*cos(θ)，要求的是θ。
整理後可得(6400km+462m)*(1-cos(θ))=462m。
利用泰勒展开，1-cos(θ) = (θ^2/2!) - (θ^4/4!) + (θ^6/6!) ....
不过我们知道θ很小，因此只要第一项就够用了。
这样要解的式子就变成：(6400km+462m)*(θ^2/2!) = 462m。
解出θ=0.012，以弧度为单位，也就是说，
半径为6400km、夹角为θ的弧长是6400km*0.012 = 76.8km，
意思是从飞凤山顶可以看到最远76.8km的平地。
注意是"平地"而已喔，就可以看到76.8km了，
何况飞凤山离台北101的直线距离只有53.9km，加上台北101有509.2公尺高，
理论上来说，假如中间没有任何阻碍，飞凤山顶看到台北101是没有问题的。
不过怎麽知道中间有没有阻碍呢？就要另一番计算了，
已知飞凤山到台北101直线距离有53.9km，
因此要计算的是，53.9km的距离内，
台北101看起来会因为地球弧度的关系下降多少。
可以用刚才的式子，这次先用53.9km把θ算出来：
θ= 53.9km / 6400km = 0.00842。
(6400km+462m) * (1-cos(θ)) = 0.227km = 227m。
也就是说，从飞凤山山顶看台北101，好像矮了227m一样，剩下282m高。
那麽从飞凤山到台北101直线距离中的其他障碍物(如别的山峰山脉)会矮多少呢？
根据泰勒展开，1-cos(θ)大约等於θ^2/2!，
也就是下降的高度与角度平方成正比，角度又与距离成正比，
因此可以用台北101的距离与降低的高度，照比例算出障碍物会下降多少。
先在地图上找出飞凤山和台北101间直线上的主要高於282m的障碍物，
幸好不多，只有龙潭到关西之间的一块高地而已，
最高的地方是300m，离飞凤山12.7km，
照比例计算的话，会下降227m*(12.7km/53.9km)^2 = 12.6m，
还剩下287m，比282m恰好高一点点，
这样代表从飞凤山看不到台北101？并不是，
因为飞凤山并不是只有282m高，而有462m高，
比「降低後」的台北101高了180m，
也就是说，从飞凤山看台北101，视线不是水平而是稍微俯视的，
因此可以作图如下：
飞凤山
Ｅ
|`-._
Ｇ
| `-._
180m | | `-._
| | `-._
| | `-._
| |
Ｆ `-._
Ｄ|`````
|``````````````````
Ｈ台北101
|12.7km-----41.2km------|
| |
|-------53.9km----------|
DEH跟FGH是相似三角形，而龙潭高地距离台北101有41.2km，
因此可算出FG = 180m*(41.2km/53.9km) = 138m，
也就是说，龙潭高地最多可以比台北101高138m，还不会挡住台北101。
上面的计算已经指出，龙潭高地只比台北101高5m，
跟138m差得可远了，因此完全不会挡住台北101。
结论就是：
飞凤山看得到台北101！！！
顺便附上一些山的山顶可以看到最远平地的距离吧。
山名 标高 展望
飞凤山 462m 77km
观音山(台北) 616m 89km
七星山 1120m 120km
北插天山 1728m 149km
阿里山大塔山 2663m 185km
北大武山 3092m 199km
合欢山 3417m 209km
富士山 3776m 220km
玉山 3952m 225km
马来西亚神山 4095m 229km
阿空加瓜山 6962m 298km
珠穆朗玛峰 8844m 336km
玉山离中国大陆最近的地方大约有240m，
看来于右任的铜像即使还在玉山顶上，也望不到对岸的...
在玉山上差一点点就可以看到日本的与那国岛。
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◆ From: 168.7.236.172
※ 编辑: evanzxcv 来自: 168.7.236.172 (09/28 09:59)
1F：推 nchuhistory:本日最专业!! (虽然看不懂) 09/28 10:08
2F：推 koming:.....真的很有心.... 09/28 10:15
3F：推 moguly:板上真是卧虎藏龙～（虽然以前数学一直被当，看不懂...） 09/28 10:38
4F：→ moguly:如果有个数学老师这样出题，应该会很好玩： 09/28 10:40
5F：→ moguly:请试算飞凤山可以看到101吗？ 09/28 10:40
6F：推 c6966:本日最用心!! 09/28 12:01
7F：推 CdSe:推荐这篇文章 09/28 12:01
8F：推 Feynman:这篇真的有空想科学大战的感觉。大推一下 09/28 13:17
9F：推 FireFrog:天阿! 09/28 13:28
10F：推 warmlight:太厉害了 虽然小的完全看不懂 还是很崇拜....... 09/28 14:12
11F：推 conquer:简直可以写教材了: 山岳展望学原理篇 XD 09/28 14:22
12F：推 chienchung:觉得你的计算过程有点不够直接 :p 09/28 15:19
13F：推 qir:以後有人在怀疑展望，套用这个公式算给他看就好啦～ 09/28 16:59
14F：→ qir:乾脆把这篇投书到报纸吧。 09/28 16:59
15F：推 ivylouise:今天看中午的新闻说~~看得到~~~ ^^ 09/28 18:05
16F：推 cossnova:真强者..虽然内文看不懂@@ 09/28 18:09
17F：推 yom:推~~投稿到台湾山岳吧:) 09/28 18:19
18F：→ Dasboy:喔~虽然很佩服 但是不想把台湾山岳当牛顿看XD 09/28 18:25
19F：推 rerun:数学就是科学, 掌声鼓励!!!!! 09/28 18:30
20F：推 Baby76519:强者原po大阿!!! 09/28 18:57
21F：推 dahIia:高手 09/28 20:53
22F：推 jeijei:推~专业! 09/28 21:55
23F：→ fondness:好难......有办法叙述得让数学白痴也看得懂吗？ XDD 09/28 22:17
24F：推 swancloud:真高手~ 09/28 23:02
25F：推 Tectonics:大推啊！看到珠穆朗玛峰展望也只有336km其实蛮意外的XD 09/28 23:27
26F：→ Tectonics:示意图也画的很赞喔！ 09/28 23:28
27F：→ ryan0222:惊！！刚刚眼花，以为可以看到海底的与那国遗址 09/29 01:39
28F：推 dawnseas:(拜) 09/29 03:19
29F：推 garmisch:推专业！ 09/29 09:35
30F：推 Moot:推~真强 09/29 14:52
31F：推 chwang:我是乡民 我看不懂数学式 不过希望有机会看到101 09/29 19:24
32F：推 htw:推~ 俯视的理论很有趣 现场看就像望远的感觉而已:p 09/29 21:51
33F：推 hplin:29日接近中午去 有看到101 不过建议早点去比较好 09/30 00:18
34F：推 millyG:大推~~虽然我也看不懂算式^^" 09/30 20:30
35F：推 DerRicher:借转新竹板thx 09/30 20:48
※ DerRicher:转录至看板 Hsinchu 09/30 20:49
36F：→ aceting:强~虽然我还在教高中数学~要我仔细看还会头昏眼花 10/01 11:52
37F：推 yuenru:真强者，推一下！ 10/10 11:35
38F：推 lyonchen:推个旧文，看到泰勒展开式~~一整个囧 11/11 00:14
39F：推 llming:大推～我以前也有这样算过，很高兴跟你算的结果一样呵^^～ 05/13 11:25