作者Qdream (宅男科学家)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线性代数-向量空间
时间Fri May 6 23:17:32 2022
各位好：
在练习向量空间时遇到一些问题，
我试着写出想法，还请各位不吝指教，谢谢！
1.
https://imgur.com/oHS1ic9
(1) W1我的想法是，0函数时f(x^2)=[f(x)]^2是成立的，
所以这个集合不是空集合，再来任取f(x)、g(x)属於W1，
移项可得f(x^2)-[f(x)]^2=0，最後取α属於实系数，
则αf(x^2)+g(x^2)= α[f(x)]^2+[g(x)]^2成立，
所以W1是V的子空间。(但答案显然不是XD)
(2) W4是因为0函数不满足f(3)=1+f(-5)，所以不是子空间吗？
(3) W5是因为零函数为连续函数，非空集合，且若f(x)、g(x)为连续函数，
则取α属於实系数，αf(x)+g(x)也为连续函数，满足封闭性，
所以W5也为V的子集合吗？
2.
https://imgur.com/SfiBSzm
W1 U W2的表示法，y=0或y=-x，y=-x是怎麽来的呢？
3.
https://imgur.com/1I1ti7O
我将题目理解为下列哪些是S的生成集，表示各选项是否可以生成S吧？
之後将S表达为{a(1,1,1,0)+b(0,1,-1,-1)}，
并将选项内的向量和题目的两个向量去做列运算，
https://imgur.com/xUYrBC6
如上图，第四行就算再消去也不会变成零列，那不就表示选项1的两个向量
无法组合出(0,1,-1,-1)这个向量吗？还是我理解上有问题呢？
4. 题目：Find a 2 by 2 matrix A such that ColA=NullA
https://imgur.com/zoqgqEn
我的想法如上图，那只要是这两个矩阵的任意系数倍组合都是答案罗？
(参考答案给的是我写的第三个矩阵[1 -1]，不太会打矩阵所以将就一下)
[1 -1]
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1F：→ chang1248w: 1(1)你要考虑的对象是(f+g)(x) 05/07 02:12
2F：→ chang1248w: 1(2)对，而且有常数的时候基本上加分都out 05/07 02:14
3F：→ chang1248w: 2 y=0就W1，y=-x就W2，大哥.... 05/07 02:18
4F：→ chang1248w: 3 选项1确实没办法 05/07 02:23
5F：→ chang1248w: 4 请注意你相减的步骤加个常数後续也会对 05/07 02:30
6F：→ chang1248w: 2*2矩阵的rank 只有0 1 或2三种可能 05/07 02:34
7F：→ chang1248w: rank =2那null space只有0 05/07 02:35
8F：→ chang1248w: rank=0那range也只会是{0} 05/07 02:36
9F：→ chang1248w: 所以对2*2的矩阵而言，range =null只会发生在rank =1 05/07 02:37
10F：→ chang1248w: 的情况下 05/07 02:37
11F：→ chang1248w: 嗯...结论上所有符合条件的矩阵都相似於2*2的上三角 05/07 02:40
12F：→ chang1248w: 或者下三角矩阵 05/07 02:40
13F：→ chang1248w: 省略过多lol，反正有点eigenvalue 的概念就很简单 05/07 02:41
14F：→ chang1248w: 不然你也可以从讨论A^2=0下手 05/07 02:41
15F：→ chengweihsu: 1.(1)跟4.如下，其他就楼上讲的 05/07 16:57
17F：→ chengweihsu: 1.(1)取的函数的要改成 05/07 17:43
18F：→ chengweihsu: f(x)=2^ln(|x|), if x € R-{0}, and f(0)=0 05/07 17:43
19F：→ chengweihsu: 没注意到x € [-inf,0]的情况,g(x)同理 05/07 17:43
谢谢楼上两位大大，让我留点时间消化一下!
※ 编辑: Qdream (114.136.241.221 台湾), 05/07/2022 22:27:15
20F：→ chang1248w: 你那是欧元...？ 05/08 02:44
21F：推 aa871220: 欧元XDDDD 05/12 04:58