作者gash55025502 (白影弓)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代 直和与正交补空间
时间Fri Oct 25 00:39:24 2019
想问个观念问题：
我知道向量空间V的子空间W 以及W的正交补空间
可以直和分解V
但如果反过来
只知道向量空间V可分解成两个子空间的直和
是不是就代表这两个子空间互为正交补空间了？
https://i.imgur.com/vTYnN7o.jpg
https://i.imgur.com/fAxGpgl.jpg
像上面那张图的第四题 跟 下面那张图 最上面的第三小题
是不是都只需要证明两个子空间直和分解V就好？
如果可以的话 想知道这个要怎麽证明 感谢～
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※ 编辑: gash55025502 (42.77.189.158 台湾), 10/25/2019 00:40:42
1F：→ Ricestone: 不行，直和不需要正交 10/25 00:45
2F：→ gash55025502: 这样的话清大那题第三小题要用什麽方法证明比较好呢 10/25 00:49
3F：→ gash55025502: ？ 10/25 00:49
4F：→ Ricestone: 就直接把偶函数跟奇函数的基底写出来，证明它们正交 10/25 00:55
5F：→ Ricestone: dim相加等於4就好了啊 10/25 00:56
6F：→ gash55025502: 喔喔大概懂了 感谢！！ 10/25 01:10
7F：推 zuchang: 直和可以当成是空间的基底的分解 因为基底不保证正交 所 10/25 16:10
8F：→ zuchang: 以你的结论错误 10/25 16:10
9F：推 ekids1234: 我知道 一条在V的向量v可以拆成两条垂直的向量，但想不 10/25 18:58
10F：→ ekids1234: 透和 eigenspace 的关系？(交大那题) 10/25 18:58
11F：→ Ricestone: Projection matrix就只有0跟1这两个特徵值 10/25 19:01
12F：→ Ricestone: 不过交大那题应该是False，虽然1-eigenspace就是Im(P) 10/26 16:14
13F：→ Ricestone: 而且Im(P)跟Ker(P)互为补空间，但是它们并非一定是正交 10/26 16:15
14F：→ gash55025502: 咦 所以V(0)=N(P) V(1)=Im(P) 而N(P)跟Im(P)互为正 10/26 16:20
15F：→ gash55025502: 交补 这样推有错吗? 10/26 16:20
16F：→ Ricestone: 会跟ker(A)正交互补的是Im(A^T) 10/26 16:22
17F：→ gash55025502: ker(P)代表会投影在0向量 不就等於是跟Im(P)正交了 10/26 16:22
18F：→ gash55025502: 吗 10/26 16:22
19F：→ Ricestone: N(P)跟Im(P)正交互补的条件是P为正交投影矩阵 10/26 16:22
20F：→ Ricestone: 你想一下斜投影是什麽样就知道了 10/26 16:23
21F：→ gash55025502: 哦哦 所以投影矩阵跟正交投影矩阵不同 我再去找找 10/26 16:26
22F：→ gash55025502: 资料好了 感谢 10/26 16:26