作者mistel (Mistel)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代 内积2题疑问
时间Wed Aug 28 00:32:32 2019
https://i.imgur.com/ZpFP36V.jpg
是非题第45题
请问不是只有在A是投影算子的时候才可以拆吗？
有点混淆...
https://i.imgur.com/uFfgcmt.jpg
第97题(c)小题
请问QR分解的R是唯一的吗？
我的过程是这样
https://i.imgur.com/guLhlkC.jpg
我的想法是u3=0v1+v2+v3
所以R矩阵的第一列第三行应该要填0才对？
--
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1F：→ Ricestone: 在R^m中，R(A)跟N(A^T)本来互相就是正交补余的关系08/28 00:37
2F：→ Ricestone: 这件事跟是否为投影算子无关08/28 00:39
那这样如果题目叙述改成for all y属於Rn y可以写成R(A^T)的向量跟N(A)的向量线性组合
也是对的吗？
3F：→ Ricestone: 第二个问题当然是书写错了08/28 00:53
※ 编辑: mistel (114.136.219.48 台湾), 08/28/2019 12:04:23
4F：→ Ricestone: 对啊，就是用A^T代A而已，意思一样08/28 12:24
5F：→ Ricestone: 要证明也不难，书上应该会有才对08/28 12:39
6F：→ Ricestone: 先证明它们正交，令属於ker(A^T)的向量叫y，属於R(A)的08/28 12:40
7F：→ Ricestone: 向量叫Ax，则(y^T)Ax=(Ax)^Ty=x^TA^Ty=x^T(A^Ty)=008/28 12:43
8F：→ Ricestone: 再来证明它们只交於{0}，假设有向量z同时属於两空间，08/28 12:45
9F：→ Ricestone: 那麽它跟它自己内积会是0，所以一定是0向量08/28 12:45
10F：→ Ricestone: 最後用维度定理就知道它们互相是正交补余了08/28 12:46
T是幂等算子情况下一个向量可以拆成ker(T)+Im(T)里的所有向量这我理解，因为这时候ker
(T)跟Im(T)这两个空间会形成直和
但是这个地方书上其实没有讲的很清楚，只提到两个正交补空间交集是空集合，
所以跟您确认一下，我一直以为维度定理仅限用在ker(T)跟Im(T)，
但是像这篇文章的R(A)跟N(A^T)，其实我只要知道R(A)跟N(A^T)交集是{0}(满足直和其中一
个条件)
而且两个空间维度相加刚好等於dim(Rm)，所以我就可以说R(A)跟N(A^T)也行成了一个直和
了，是这样吗@@
※ 编辑: mistel (114.136.219.48 台湾), 08/28/2019 18:35:06
11F：→ Ricestone: 实际上，dimIm(T)=rank(T)=dimR(A)=dimR(A^T) 08/28 19:45
12F：→ Ricestone: 所以两个式子是一样的08/28 19:48
13F：→ Ricestone: 而一般我们说四大空间的关系时用的就是我写的那样 08/28 19:49
14F：→ Ricestone: 四大空间对所有矩阵都是对的，幂等才是特例08/28 19:50
15F：→ Ricestone: 我说的两个式子指的是维度定理08/28 20:01
16F：→ Ricestone: 我发现我没有写，就是dimR(A)+dimN(A^T) = m08/28 20:03
对耶R(A^T)维度跟R(A)是相同的！这样我了解了
再请教R大关於least square solution跟minimal solution的问题
先假设是解Ax=b这个线性系统
1.minimal solution一定存在吗？
是的话那Ax=b有唯一解x就是minimal solution吗？所以其实这个x是在R(A^T)里面？！
不是的话代表唯一解x不是距离原点长度最近的那个解，感觉怪怪的？
2.least square solution求解x0时可以把b投影到R(A)上再求解，那minimal solution可以
把b投影到R(A^T)上再求解吗？
3.
https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Grad-ProbAsk/M.1420862181.A.A81.html
请问这篇文章中提到的shortest (minimal 2-norm) least-squares solution就是指minima
l solution没错吗？
下面留言提到的这句话「好像最小解一定是R(A^T). 因为不管求解还是近似解，x 属於R(A^
T)+N(A)，而如果有多组解代表N(A)不为空,最小解则是这之中最短者，所有在R(A^T)正交N(
A)的条件下，加上N(A)只会增加长度，所有最小解一定属於R(A^T)」
其实就是在过去说过的通解可以拆成特解+一个齐次解吗？，所以这个唯一一个特解就是min
imal solution对吗？
感谢R大一直帮忙解惑
※ 编辑: mistel (114.136.219.48 台湾), 08/29/2019 00:46:58
17F：→ Ricestone: 1.有解的话，对，也是在R(A^T)里面08/29 01:05
了解
18F：→ Ricestone: 3.是，但第二个问句不太对，因为特解本身是可以随便找08/29 01:06
19F：→ Ricestone: 你可以想像那个解集合是个没通过原点的平面，这个平面08/29 01:07
20F：→ Ricestone: 可以由随便一个指向平面上一点的向量加上平面上的向量08/29 01:08
21F：→ Ricestone: 表达，而我们说的比较特殊的特解则是距离原点最近的那08/29 01:09
22F：→ Ricestone: 条垂直於平面的线 08/29 01:09
原来如此
这边可能要多体会一下才能懂了orz
23F：→ Ricestone: 至於2.应该是要找pseudo inverse08/29 01:15
24F：→ Ricestone: 不过不知道应该也不会影响对minimal solution的理解08/29 01:16
了解，感谢您
※ 编辑: mistel (114.136.219.48 台湾), 08/29/2019 13:50:41
25F：→ Ricestone: 3这点应该没很复杂，「指向平面上随便一点的向量」就是 08/29 13:56
26F：→ Ricestone: 一个特解，「在平面上的向量」就是齐次解08/29 13:57
27F：→ Ricestone: 另外，1这件事，既然你说的是只有唯一解，那代表N(A)的08/29 14:05
28F：→ Ricestone: 维度就是0，同时也代表R(A^T)是整个R^n08/29 14:07
您说的我懂，但既然解集合可以拆开变成特解和齐次解，而且特解垂直於这个齐次解平面，
那这特解向量应该是属於R(A^T)，而且特解跟齐次解的内积应该是0？！
但是为什麽笔记上这一题把通解拆成特解+齐次解，做内积却不是0 TAT
https://i.imgur.com/ISlJD5S.jpg
https://i.imgur.com/waA34gN.jpg
还是这跟是不是在inner product space有关...？
※ 编辑: mistel (114.136.219.48 台湾), 08/29/2019 15:43:44
29F：→ Ricestone: 不是啊，所以我的意思就是若只讲特解，并不代表那就是 08/29 15:49
30F：→ Ricestone: R(A^T)的解呀，指向解平面上任何一点的向量都可以是特08/29 15:50
31F：→ Ricestone: 解08/29 15:50
32F：→ Ricestone: 这麽说吧，假设yp是属於R(A^T)的特解，yn则是齐次解 08/29 15:54
33F：→ Ricestone: 那麽(yp+yn)这个向量也可以当作特解 08/29 15:55
34F：→ Ricestone: 而它当然不会跟yn正交08/29 15:56
35F：→ Ricestone: 反过来说，如果你能找到跟所有齐次解都正交的特解，那08/29 16:07
36F：→ Ricestone: 就会是属於R(A^T)的解了 minimal solution主要就是在 08/29 16:08
37F：→ Ricestone: 找这个特殊的特解 08/29 16:08
哦哦哦我懂了，原来我一直误会直和的意思，所以误以为R^n里的向量不是属於N(A)就该属
於R(A^T)，正确的说应该是可以被这两个空间线性组合才对，
早上还想说奇怪为什麽您为什麽要强调指「任意」指向ker(T)的向量
当唯一解时ker(T)维度为0，R(A^T)会行成R^n，所以minimal solution本来就应该在R(A^T)
里，而且这一个特殊的解正是离原点最近的点，而且跟ker(A)的所有向量垂直
有种前後串起来的感觉
数学好神奇啊！！
※ 编辑: mistel (114.136.219.48 台湾), 08/29/2019 16:32:46