※ [本文转录自 graduate 看板 #1Dsy7juL ] 作者: caregix (人心归善) 看板: graduate 标题: [问题] 关於偏微分产生的chain rule问题 时间: Tue May 24 22:34:19 2011 刚刚解到有一题题目感觉很奇怪~~想了好几个小时想不通QQ 所以希望请板上的高手指点一下 囧a 我用的书本是刘明昌的工程数学学习要诀第零章的部分... 卡住的地方是关於偏微的时候要不要考虑chain rule的问题 ==================================================================== 题目:设z+ln(z)=xy,求Zx及Zxy~ (注:Zx就是Z对x取偏微,Zxy则是Z对x取完偏微再对y取偏微) ==================================================================== 解题过程: 此题是隐函数的型式,根据推导出来的公式可以知道: Zx = -Fx/Fz 其中F(x,y,z) = z+ln(z)-xy = 0,Fx则是F对x取偏微,Fz是F对z取偏微 如此可得知Zx = -(-y)/(1+1/z) = (zy)/(z+1) (在此请容许我令(zy)/(z+1)=G(z,y,z)) Zx的答案与书本上解答的计算方式与答案皆完全相同~~ 希望各位注意一下此处 Fx的计算方式 与 Fx之计算结果 因为这正是我要问的问题的关键之一 QQ -------------------------------------------------------------------- 接着要求Zxy~而此时我理所当然的直接将上式所求得的Zx(即G)直接再对y取偏微 得到Zxy = Gy = z/(z+1)的简单答案~~~ 正当高兴这题如此简单时我看到书本上写着 "此时不能直接对前面求得的Zx(即G)对y取偏微"... 呃~再瞄瞄此题的难度说明注明着 "易错题"... 囧rz... 答案中写着原因:原因是z=z(x,y) 囧a 然後答案在偏微过程中也把z视为变数继续计算下去! 当下觉得非常奇怪~~ ==================================================================== 因为之前特别注意完全微分与偏微分的差别与定义 (总偏导数)(偏导数) 其中取偏微分的过程中"须把其他所有变数皆视为常数",只把要取偏微的变数视为变数 例如chian rule章节中有举到一个通式的例子: f=f(x,y,z),z=z(x,y),则F(x,y,z)对x,y之导数为: df/dx = Fx+Fz*Zx (Fx Fz Zx代表大写字母对小写字母取偏微) df/dy = Fy+Fz*Zy 由以上二式可以看出求取总偏导数时候有(必须)把z=z(x,y)的链锁效应考虑进去 我所指的就是 "Fz*Zx" 和 "Fz*Zy" 这二个部分 由此也可知上面df/dx右式中的Fx自然应该在计算过程中把z的部分视为常数! Fy亦同! 否则整个式子感觉会非常不合理 在一开始我所提到的题目里面计算Zx的过程中有出现Fx Fx在计算过程中也把z当成常数项来计算!! 在下面这个例题中的计算过程里面,Fx和Fy计算时都把z项视为常数! ---------------------------------------------------------------------- 同一本书的基本题例题...: 设F(x,y,z)=2x^2+xz+2y^2,令z(x,y)=x^3+y^3,求F对x取偏微分等於? 同一本书的解答: df/dx = Fx+Fz*Zx = (4x+z)+x*3x^2 = 4x^3+y^3+4x df/dy = Fy+Fz*Zy = (4y)+x*3y^2 = 3xy^2+4y 我想此处看得很明白了....题目也有说明z=z(x,y)=x^3+y^3 但是在计算偏微分的时候Fx和Fy都是把z当成常数项看待 ---------------------------------------------------------------------- 现在回到一开始的问题............... 为什麽最上面那题的Zxy(即Gy)不能直接把z当成常数项看待.................. 虽然刚刚在打这篇文章的时候想到说不定是这题z本身对其自变数(二次)取偏微 因此才会有这种现象 但是如果我单纯的把Zx视为一个新的G(x,y,z)也并无不可,这样的话上面那二行感觉 就说不通了= ="" 目前我想到有可能造成F对y(或x)取偏微与G对y(或x)取偏微计算过程不一样的关键 只有F=0而G应该并不等於0,不知道是不是这点造成了差异,是的话又是如何造成Orz...... 今晚光是想这个问题其他都不用念了(超想哭泣)QQ 希望各位高手指点一下QQ --

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