http://ppt.cc/vJA7 f(z) evaluate ∮ ------- dz z - a a为曲线上之一点, f(z)除了a点外在曲线内区域解析 由於 a 在曲线上未定义 因此考虑曲线 C 和曲线 c* 的积分 f(z) f(z) f(z) f(z) => ∮------- dz = ∫ ------- dz + ∫ ------- dz - ∫ ------- dz z - a C z - a c* z - a c* z - a π π 其中 c* ： z = εe^(iθ) ε→0 , θ：- --- → --- 2 2 (角度和图中显示不尽相同，但要表达的是顺时针绕半圈) f(z) f(z) 故 ∮------- dz = - ∫ ------- dz (∵ f(z)在C和c*构成的封闭曲线内区域解析 ) z - a c* z - a 1 f(z) = - --- * ∮(顺时针) ------- dz 2 c* z - a 1 = - --- * [- 2πi * Res(a)] 2 = πi * Res(a) 因此 曲线上若存在一阶奇异点 可直接通过并使其贡献一半的留数 由於原题 cosθ - a 使 f(θ) 无意义之点为一阶奇异点 因此仍可利用留数积分 概念上是这样 如果有错误的地方还请指教 -- 补上原题积分的步骤 π cosθ I = ∫ ----------- dθ 0 cosθ - a 1 2π e^(iθ) = --- Re [∫ ----------- dθ] 2 0 cosθ - a 1 z 1 = --- Re [∮ ------------------ * ---- dz] 2 |z|=1 1 1 iz ---(z + ---) - a 2 z 1 -2iz = --- Re [∮ --------------- dz] 2 z^2 - 2az + 1 1 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿ = --- Re {πi * [Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)]} 2 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿ -2iz ｜ Res(a + √1 - a^2 i) = [z - (a + √1 - a^2 i)]* ---------------｜ z^2 - 2az + 1 ｜z = z1 -2iz ｜ = ---------｜ ＿＿＿＿ 2z - 2a ｜z = a + √1 - a^2 i -a = ----------- - i ＿＿＿＿ √1 - a^2 ＿＿＿＿ -2iz ｜ Res(a - √1 - a^2 i) = ---------｜ ＿＿＿＿ 2z - 2a ｜z = a - √1 - a^2 i a = ----------- - i ＿＿＿＿ √1 - a^2 1 1 故所求 = --- Re[πi * (-2i)] = --- Re[2π] = π 2 2 --

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